Základní typy rovnic a nerovnic

Příklad 1.1#

Řešte nerovnici $-4x < 20$ .

A

x \in \left(-\infty, 5\right)

B

x \in \left(-\infty, -5\right)

C

x \in \left(5, +\infty\right)

D

x \in \left(-5, +\infty\right)

E

x \in \left(-4, 20\right)

Odpověď

D.

Nápověda

Nerovnici vyřešíme jediným krokem – dělením číslem $-4$ . Nezapomeňte, že při násobení či dělení záporným číslem se obrací znaménko nerovnosti.

Postup řešení

Obě strany nerovnice vydělíme číslem $-4$ . Protože je záporné, obrátí se znaménko nerovnosti:

$\begin{aligned} -4x & < 20, \\ x & > -5. \end{aligned}$

Množinou všech řešení je tedy interval $\left(-5, +\infty\right)$ .

Příklad 1.2#

Řešte nerovnici $-3 \leq -x+4 < 2$ .

A

x \in \left(2, 7\right\rangle

B

x \in \left\langle2, 7\right)

C

x \in \left\langle1, 6\right)

D

x \in \left\langle-3, -2\right)

E

x \in \left(1, 6\right\rangle

Odpověď

A.

Nápověda

Dvojitou nerovnost upravujeme „najednou“: cokoli provedeme s prostředním výrazem, musíme provést i s oběma krajními. Pozor na to, že vynásobením či vydělením záporným číslem se obrátí obě nerovnosti, a tím i pořadí krajních bodů.

Postup řešení

Od všech tří výrazů odečteme číslo $4$ a poté všechny tři vynásobíme číslem $-1$ ; obě nerovnosti se přitom obrátí:

$\begin{aligned} -3 \leq {} & -x+4 < 2, \\ -7 \leq {} & -x \phantom{{}+4} < -2, \\ \phantom{-}7 \geq {} & \phantom{-}x \phantom{{}+4} > \phantom{-}2. \end{aligned}$

Poslední řádek přepíšeme v obvyklém pořadí, tedy od menšího čísla k většímu: $2 < x \leq 7$ . Množinou řešení je interval $\left(2, 7\right\rangle$ – krajní bod $7$ do něj patří, krajní bod $2$ nikoli.

Poznámka

Dvojitá nerovnost je pouze zkráceným zápisem soustavy dvou nerovnic, které musí platit současně. Kdo si výše uvedeným postupem není jistý, může řešit zvlášť nerovnici $-3 \leq -x+4$ (odkud $x \leq 7$ ) a nerovnici $-x+4 < 2$ (odkud $x > 2$ ) a obě množiny řešení nakonec protnout.

Příklad 1.3#

Určete počet celočíselných řešení nerovnice

$\left(2-x\right)^3 \left(x+2\right)^2 \left(x-3\right) \geq 0.$

A

2

B

\left\langle2, 3\right\rangle

C

0

D

3

Enekonečně mnoho

Odpověď

D.

Nápověda

Levá strana už je v součinovém tvaru, stačí tedy sestavit tabulku znamének. Rozmyslete si, jak se na znaménku součinu projeví sudá a jak lichá mocnina závorky. Protože je nerovnost neostrá, patří do množiny řešení i všechny nulové body. Teprve nakonec spočítejte, kolik celých čísel v nalezené množině leží.

Postup řešení

Nulové body jednotlivých činitelů jsou $x = 2$ , $x = -2$ a $x = 3$ . Rozdělíme jimi reálnou osu a na vzniklých intervalech určíme znaménko každého činitele i celého součinu:

	$\left(-\infty, -2\right)$	$\left(-2, 2\right)$	$\left(2, 3\right)$	$\left(3, +\infty\right)$
$(2-x)^3$	$+$	$+$	$-$	$-$
$(x+2)^2$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$-$	$+$
součin	$-$	$-$	$+$	$-$

Využili jsme přitom, že lichá mocnina má vždy stejné znaménko jako její základ, zatímco sudá mocnina $(x+2)^2$ je pro každé $x \neq -2$ kladná, a znaménko součinu tedy neovlivňuje.

Kladný je součin pouze na intervalu $\left(2, 3\right)$ . Protože je nerovnost neostrá, přidáme ještě všechny nulové body, tj. čísla $-2$ , $2$ a $3$ . Množinou řešení je

$\set{-2} \cup \left\langle2, 3\right\rangle.$

Celá čísla v této množině jsou právě $-2$ , $2$ a $3$ . Nerovnice má tedy $3$ celočíselná řešení.

Poznámka

Původní součinový tvar můžeme nejprve upravit na „standardnější“, tedy obrátit první závorku a změnit znaménko celé nerovnosti:

$\left(x-2\right)^3 \left(x+2\right)^2 \left(x-3\right) \leq 0.$

Na výslednou nerovnost lze následně aplikovat tzv. metodu intervalů.

Příklad 1.4#

Řešte nerovnici $\left|x-5\right| < 8$ .

A

x \in \left(-\infty, -13\right) \cup \left(3, +\infty\right)

B

x \in \left(-\infty, 13\right)

C

x \in \left(-13, 3\right)

D

x \in \left(-3, 13\right)

E

x \in \left(-\infty, -3\right) \cup \left(13, +\infty\right)

Odpověď

D.

Nápověda

Výraz $\left|x-5\right|$ je vzdálenost bodu zobrazujícího číslo $x$ na číselné ose od bodu příslušného číslu $5$ . Hledáme tedy všechna čísla, jejichž vzdálenost od $5$ je menší než $8$ . Formálně použijeme ekvivalenci $\left|A\right| < c \iff -c < A < c$ .

Postup řešení

Pro libovolný reálný výraz $A$ a libovolné reálné číslo $c$ platí

$\left|A\right| < c \quad \iff \quad -c < A < c.$

V našem případě tedy

$\begin{aligned} -8 & < x-5 < 8, \\ -3 & < x \phantom{{}-5} < 13, \end{aligned}$

kde jsme ve druhém kroku ke všem třem výrazům přičetli číslo $5$ . Množinou řešení je interval $\left(-3, 13\right)$ .

Poznámka

Geometricky jde o interval se středem v bodě $5$ a poloměrem $8$ :

$\left(5-8, \; 5+8\right) = \left(-3, 13\right).$

Tento pohled se vyplatí mít stále na paměti – výsledek z něj lze napsat okamžitě a bez počítání.

Příklad 1.5#

Řešte rovnici $|2x+3| - |x-1| = -1$ .

A

x = -5

B

x \in \set{-5, -3, -1}

C

x = -1

D

x \in \set{-3, -1}

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

D.

Nápověda

Absolutní hodnotu umíme odstranit jen tehdy, známe-li znaménko výrazu uvnitř. Najděte proto nulové body obou výrazů, rozdělte jimi reálnou osu a na každém z takto vzniklých intervalů řešte vzniklou lineární rovnici. U každého nalezeného kořene pak ověřte, zda leží v tom intervalu, ze kterého vzešel – v opačném případě ho musíme zamítnout.

Postup řešení

Nejprve určíme nulové body výrazů v absolutní hodnotě:

$\begin{gathered} 2x+3 = 0 \quad \iff \quad x = -\frac{3}{2}, \\ x-1 = 0 \quad \iff \quad x = 1. \end{gathered}$

Nulovými body $-\frac{3}{2}$ a $1$ rozdělíme reálnou osu na tři intervaly. Na každém z nich mají oba výrazy stálé znaménko, takže na něm můžeme absolutní hodnoty odstranit a danou rovnici převést na lineární:

	$\left(-\infty, -\frac{3}{2}\right)$	$\left\langle-\frac{3}{2}, 1\right)$	$\langle 1, +\infty)$
$2x+3$	$-$	$+$	$+$
$\|2x+3\|$	$-(2x+3)$	$2x+3$	$2x+3$
$x-1$	$-$	$-$	$+$
$\|x-1\|$	$-(x-1)$	$-(x-1)$	$x-1$

Pro $x \in \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right)$ je $|2x+3| = -(2x+3)$ a $|x-1| = -(x-1)$ , takže

$\begin{aligned} -(2x+3) - \bigl(-(x-1)\bigr) & = -1, \\ -2x-3 + x-1 & = -1, \\ -x-4 & = -1, \\ x & = -3. \end{aligned}$

Protože $-3 \in \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right)$ , číslo $x = -3$ je řešením dané rovnice.
Pro $x \in \left\langle-\frac{3}{2}, 1\right)$ je $|2x+3| = 2x+3$ a $|x-1| = -(x-1)$ , takže

$\begin{aligned} 2x+3 - \bigl(-(x-1)\bigr) & = -1, \\ 2x+3 + x-1 & = -1, \\ 3x+2 & = -1, \\ x & = -1. \end{aligned}$

Protože $-1 \in \left\langle-\frac{3}{2}, 1\right)$ , číslo $x = -1$ je dalším řešením rovnice.
Pro $x \in \langle 1, +\infty)$ je $|2x+3| = 2x+3$ a $|x-1| = x-1$ , takže

$\begin{aligned} 2x+3 - (x-1) & = -1, \\ 2x+3 - x+1 & = -1, \\ x+4 & = -1, \\ x & = -5. \end{aligned}$

Protože $-5 \notin \langle 1, +\infty)$ , v uvažovaném intervalu nemá daná rovnice řešení.

Daná rovnice tedy má dvě řešení $x_1 = -3$ a $x_2 = -1$ .

Poznámka

Zkouška: pro $x = -3$ je $|-3| - |-4| = 3-4 = -1$ a pro $x = -1$ je $|1| - |-2| = 1-2 = -1$ . Naopak číslo $-5$ ze třetího případu rovnici nevyhovuje, neboť $|-7| - |-6| = 7-6 = 1 \neq -1$ . Právě proto je závěrečná kontrola, zda kořen leží v uvažovaném intervalu, nezbytná.

Příklad 1.6#

Najděte nejmenší celé číslo, které je řešením nerovnice

$|x-1| + |x+1| < 4.$

A

-2

B

-1

C

1

D

2

Eneexistuje

Odpověď

B.

Nápověda

Postupujte metodou nulových bodů jako v příkladu 1.5. Geometricky jde o součet vzdáleností bodu $x$ od bodů $1$ a $-1$ ; z tohoto pohledu je vidět, že mezi body $-1$ a $1$ je součet stále roven $2$ a směrem ven roste. Nezapomeňte, že se ptáme na nejmenší celé číslo v množině řešení.

Postup řešení

Nulové body jsou $-1$ a $1$ ; rozdělíme jimi reálnou osu na tři intervaly.

Pro $x \in \left(-\infty, -1\right)$ je $|x-1| = -(x-1)$ a $|x+1| = -(x+1)$ , takže nerovnice má tvar

$\begin{aligned} -(x-1) - (x+1) & < 4, \\ -2x & < 4, \\ x & > -2. \end{aligned}$

Průnikem s uvažovaným intervalem dostáváme $x \in \left(-2, -1\right)$ .
Pro $x \in \left\langle-1, 1\right)$ je $|x-1| = -(x-1)$ a $|x+1| = x+1$ , takže levá strana nabývá hodnoty

$-(x-1) + (x+1) = 2 < 4.$

Nerovnost tedy platí pro každé $x$ z tohoto intervalu a celý interval $\left\langle-1, 1\right)$ je součástí množiny řešení.
Pro $x \in \left\langle1, +\infty\right)$ je $|x-1| = x-1$ a $|x+1| = x+1$ , takže

$\begin{aligned} (x-1) + (x+1) & < 4, \\ 2x & < 4, \\ x & < 2. \end{aligned}$

Průnikem s uvažovaným intervalem dostáváme $x \in \left\langle1, 2\right)$ .

Sjednocením dílčích výsledků je množina řešení

$\left(-2, -1\right) \cup \left\langle-1, 1\right) \cup \left\langle1, 2\right) = \left(-2, 2\right).$

Nejmenší celé číslo v intervalu $\left(-2, 2\right)$ je $-1$ ; číslo $-2$ do něj již nepatří, neboť nerovnost je ostrá.

Poznámka

Geometricky je $|x-1| + |x+1|$ součtem vzdáleností bodu $x$ od bodů $1$ a $-1$ . Leží-li $x$ mezi nimi, je tento součet roven jejich vzdálenosti, tedy $2$ ; při vzdalování se zvětšuje o dvojnásobek uraženého kusu. Hodnoty $4$ dosáhne právě v bodech $-2$ a $2$ , mezi nimiž je proto menší než $4$ .

Příklad 1.7#

Najděte součet řešení rovnice $|4x-8| + |2-x| = 4$ .

A

2{,}8

B

1{,}2

C

1{,}6

D

4

E

3

Odpověď

D.

Nápověda

Než začnete dělit reálnou osu na intervaly, všimněte si, že oba výrazy v absolutních hodnotách jsou násobky téhož výrazu $x-2$ . Využijte vlastnost $|cA| = |c| \cdot |A|$ .

Postup řešení

Platí $|4x-8| = |4(x-2)| = 4|x-2|$ a $|2-x| = |-(x-2)| = |x-2|$ . Rovnice tedy má tvar

$\begin{aligned} 4|x-2| + |x-2| & = 4, \\ 5|x-2| & = 4, \\ |x-2| & = \frac{4}{5}. \end{aligned}$

Odtud $x-2 = \frac{4}{5}$ nebo $x-2 = -\frac{4}{5}$ , tedy

$x_1 = 2{,}8, \qquad x_2 = 1{,}2.$

Součet obou řešení je $x_1 + x_2 = 2{,}8 + 1{,}2 = 4$ .

Poznámka

Součet lze uhodnout i bez výpočtu obou kořenů: obě řešení jsou souměrně rozložena kolem bodu $2$ (mají od něj stejnou vzdálenost $v = \frac45$ ), a jejich součet je proto roven $(2-v)+(2+v) = 4$ .

Příklad 1.8#

Nalezněte řešení rovnice $|2x-1| - |2-3x| = 5$ a rozhodněte, které tvrzení je pravdivé.

ARovnice má právě jedno řešení.

BRovnice má právě 2 různá řešení.

CRovnice má právě 3 různá řešení.

DRovnice nemá řešení.

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

D.

Nápověda

Postupujte metodou nulových bodů. U každého kandidáta na kořen nezapomeňte ověřit, zda leží v uvažovaném intervalu.

Postup řešení

Nulové body výrazů v absolutních hodnotách jsou

$2x-1 = 0 \iff x = \frac{1}{2}, \qquad 2-3x = 0 \iff x = \frac{2}{3}.$

Rozdělíme jimi reálnou osu na tři intervaly.

Pro $x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ je $2x-1 < 0$ a $2-3x > 0$ , tedy

$\begin{aligned} -(2x-1) - (2-3x) & = 5, \\ x-1 & = 5, \\ x & = 6. \end{aligned}$

Protože $6 \notin \left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ , řešení zde není.
Pro $x \in \left\langle\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$ je $2x-1 \geq 0$ a $2-3x > 0$ , tedy

$\begin{aligned} (2x-1) - (2-3x) & = 5, \\ 5x-3 & = 5, \\ x & = \frac{8}{5}. \end{aligned}$

Protože $\frac{8}{5} \notin \left\langle\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$ , řešení zde také není.
Pro $x \in \left\langle\frac{2}{3}, +\infty\right)$ je $2x-1 > 0$ a $2-3x \leq 0$ , tedy

$\begin{aligned} (2x-1) - (3x-2) & = 5, \\ -x+1 & = 5, \\ x & = -4. \end{aligned}$

Protože $-4 \notin \left\langle\frac{2}{3}, +\infty\right)$ , i zde řešení není.

Ani v jednom z intervalů rovnice řešení nemá, množina řešení je tedy prázdná.

Jiný postup: Protože $|2-3x| \geq 0$ , plyne z dané rovnice, že $|2x-1| = 5 + |2-3x| \geq 5$ . Případné řešení tedy musí splňovat $2x-1 \geq 5$ , nebo $2x-1 \leq -5$ , tj. $x \geq 3$ , nebo $x \leq -2$ . Stačí proto prověřit jen tyto dvě možnosti, což výpočet znatelně zkrátí.

Příklad 1.9#

Najděte součet řešení rovnice $\bigl||1-x|-|x+3|\bigr| = |x+1|$ .

A

-1

B

-2

C

-3

D

-4

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

C.

Nápověda

Nulové body všech tří výrazů jsou $-3$ , $-1$ a $1$ ; ty rozdělí reálnou osu na čtyři intervaly. Vnější absolutní hodnotu odstraňujeme až poté, co víme, jaké znaménko má na daném intervalu výraz uvnitř ní. Dalším způsobem je řešení pomocí ekvivalence

$|A| = |B| \quad \iff \quad A = B \ \text{ nebo } \ A = -B.$

Postup řešení

Nulové body výrazů $1-x$ , $x+3$ a $x+1$ jsou po řadě $1$ , $-3$ a $-1$ . Rozdělíme jimi reálnou osu na čtyři intervaly a na každém z nich rovnici zjednodušíme.

Pro $x \in \left(-\infty, -3\right)$ je $1-x > 0$ , $x+3 < 0$ a $x+1 < 0$ . Vnitřek vnější absolutní hodnoty je

$|1-x| - |x+3| = (1-x) - \bigl(-(x+3)\bigr) = 4 > 0,$

takže rovnice má tvar $4 = -(x+1)$ , odkud $x = -5$ . Protože $-5 \in \left(-\infty, -3\right)$ , jde o řešení.
Pro $x \in \left\langle-3, -1\right)$ je $1-x > 0$ , $x+3 \geq 0$ a $x+1 < 0$ . Vnitřek je

$|1-x| - |x+3| = (1-x) - (x+3) = -2x-2 = -2(x+1) > 0,$

neboť $x+1 < 0$ . Rovnice tak má tvar $-2x-2 = -(x+1)$ , odkud $x = -1$ . Protože $-1 \notin \left\langle-3, -1\right)$ , řešení zde není.
Pro $x \in \left\langle-1, 1\right)$ je $1-x > 0$ , $x+3 > 0$ a $x+1 \geq 0$ . Vnitřek je opět $-2(x+1)$ , tentokrát však $-2(x+1) \leq 0$ , takže po odstranění vnější absolutní hodnoty dostáváme $2x+2 = x+1$ , odkud $x = -1$ . Protože $-1 \in \left\langle-1, 1\right)$ , jde o řešení.
Pro $x \in \left\langle1, +\infty\right)$ je $1-x \leq 0$ , $x+3 > 0$ a $x+1 > 0$ . Vnitřek je

$|1-x| - |x+3| = (x-1) - (x+3) = -4 < 0,$

takže rovnice má tvar $4 = x+1$ , odkud $x = 3$ . Protože $3 \in \left\langle1, +\infty\right)$ , jde o řešení.

Rovnice má tedy tři řešení $-5$ , $-1$ a $3$ a jejich součet je

$-5 + (-1) + 3 = -3.$

Jiný postup: Využijeme ekvivalence

$|A| = |B| \quad \iff \quad A = B \ \text{ nebo } \ A = -B.$

Pro danou rovnici to znamená vyřešit dvě rovnice

$|1-x|-|x+3| = x+1 \quad \text{ a } \quad |1-x|-|x+3| = -(x+1)$

zvlášť a následně jejich množiny řešení sjednotit.

Obě rovnice mají stejnou levou stranu, a tedy i stejné nulové body; lze je proto řešit „rovnoběžně“ metodou nulových bodů:

$1-x = 0 \iff x = 1, \qquad x+3 = 0 \iff x = -3.$

Oproti prvnímu postupu přitom dělíme reálnou osu jen na tři intervaly místo čtyř – nulový bod $-1$ výrazu $x+1$ už totiž uvažovat nemusíme. V levém sloupci níže vždy řešíme první rovnici, v pravém druhou.

Na intervalu $x \in (-\infty, -3)$ je $1-x > 0$ , $x+3 < 0$ , pak:

$\begin{aligned} (1-x) - \left(-(x+3)\right) &= x+1, &\qquad (1-x) - \left(-(x+3)\right) &= -x-1,\\ 4 &= x+1, &\qquad 4 &= -x-1,\\ x &= 3, &\qquad x &= -5. \end{aligned}$

Číslo $3$ do uvažovaného intervalu nepatří, jediným řešením zde tedy je $x = -5$ .
Na intervalu $x \in \langle-3, 1)$ je $1-x > 0$ , $x+3 \geq 0$ , pak:

$\begin{aligned} (1-x) - (x+3) &= x+1, &\qquad (1-x) - (x+3) &= -x-1,\\ -2x-2 &= x+1, &\qquad -2x-2 &= -x-1,\\ x &= -1, &\qquad x &= -1. \end{aligned}$

Obě rovnice mají stejné řešení $x = -1$ , které patří do uvažovaného intervalu.
Na intervalu $x \in \langle1, +\infty)$ je $1-x \leq 0$ , $x+3 > 0$ , pak:

$\begin{aligned} -(1-x) - (x+3) &= x+1, &\qquad -(1-x) - (x+3) &= -x-1,\\ -4 &= x+1, &\qquad -4 &= -x-1,\\ x &= -5, &\qquad x &= 3. \end{aligned}$

Protože $-5 \notin \langle1, +\infty)$ a $3 \in \langle1, +\infty)$ , do množiny řešení přidáme pouze $x = 3$ .

Součet tří řešení $-5$ , $-1$ a $3$ je $-3$ .

Příklad 1.10#

Řešte nerovnici $\dfrac{x}{2} - \dfrac{x}{3} \leq 4$ .

A

x \in \left\langle4, +\infty\right)

B

x \in \left(-\infty, 4\right\rangle

C

x \in \left\langle 24, +\infty\right)

D

x \in \left(-\infty, 24\right)

E

x \in \left(-\infty, 24\right\rangle

Odpověď

E.

Nápověda

Zlomky na levé straně nejprve sečtěte (společný jmenovatel je $6$ ), nebo rovnou vynásobte celou nerovnici kladným číslem $6$ – znaménko nerovnosti se přitom nemění. Nakonec se pečlivě podívejte, zda krajní bod do množiny řešení patří, či ne.

Postup řešení

Zlomky na levé straně převedeme na společného jmenovatele:

$\frac{x}{2} - \frac{x}{3} = \frac{3x-2x}{6} = \frac{x}{6}.$

Nerovnice tedy zní $\frac{x}{6} \leq 4$ a po vynásobení kladným číslem $6$ dostáváme $x \leq 24$ . Množinou řešení je interval $\left(-\infty, 24\right\rangle$ .

Příklad 1.11#

Najděte hodnotu parametru $a$ , pro který jsou všechna reálná čísla řešením nerovnice $3x-1 < ax+5$ .

A

3

B

1

C

5

D

0

E

6

Odpověď

A.

Nápověda

Převeďte nerovnici na tvar $(3-a) \cdot x < 6$ a rozmyslete si zvlášť tři případy: $3-a > 0$ , $3-a < 0$ a $3-a = 0$ . Jen v jednom z nich může být množinou řešení celé $\R$ .

Postup řešení

Nerovnici upravíme tak, aby všechny členy s neznámou byly vlevo:

$3x-1 < ax+5 \quad \iff \quad (3-a) \cdot x < 6.$

Rozlišíme tři případy podle znaménka koeficientu $3-a$ :

Je-li $3-a > 0$ , dostaneme $x < \frac{6}{3-a}$ – množinou řešení je jen jistá polopřímka, nikoli celé $\R$ .
Je-li $3-a < 0$ , dostaneme $x > \frac{6}{3-a}$ – opět nikoli celé $\R$ .
Je-li $3-a = 0$ , tj. $a = 3$ , nerovnice přechází na tvar $0 < 6$ . Ten platí bez ohledu na hodnotu $x$ , takže množinou řešení je celé $\R$ .

Hledanou hodnotou je tedy $a = 3$ .

Poznámka

Pro $a = 3$ mají obě přímky reprezentující strany původní nerovnice stejnou směrnici; nerovnice $3x-1 < 3x+5$ pak porovnává dvě rovnoběžné přímky a platí vždy. Právě proto se u nerovnic s parametrem vždy vyplatí zvlášť prošetřit případ, kdy koeficient u neznámé vymizí.

Příklad 1.12#

Kolik celočíselných řešení má nerovnice $-x-5 < -3x < x-1$ ?

A

0

B

1

C

2

D

3

Evíce než

3

Odpověď

C.

Nápověda

Zde už nelze upravovat všechny tři výrazy najednou, protože neznámá je ve všech třech. Rozepište proto dvojitou nerovnost na soustavu dvou nerovnic, vyřešte je zvlášť a jejich množiny řešení protněte.

Postup řešení

Dvojitá nerovnost znamená, že současně platí

$-x-5 < -3x \qquad \text{a zároveň} \qquad -3x < x-1.$

První nerovnici upravíme na

$\begin{aligned} -x-5 & < -3x, \\ 2x & < 5, \\ x & < \frac{5}{2}, \end{aligned}$

druhou na

$\begin{aligned} -3x & < x-1, \\ -4x & < -1, \\ x & > \frac{1}{4}, \end{aligned}$

kde jsme v posledním kroku dělili záporným číslem $-4$ , a proto obrátili znaménko nerovnosti.

Průnikem obou podmínek je interval

$\left(\frac{1}{4}, \frac{5}{2}\right).$

Celá čísla v něm ležící jsou $1$ a $2$ ; nerovnice má tedy $2$ celočíselná řešení.

Příklad 1.13#

Řešte nerovnici $\left(x-3\right) \left(x+5\right) \left(4-x\right) \geq 0$ .

A

x \in \left(-\infty, -5\right\rangle \cup \left\langle3, 4\right\rangle

B

x \in \left\langle-5, 3\right\rangle \cup \left\langle4, +\infty\right)

C

x \in \left\langle-4, -3\right\rangle \cup \left\langle5, +\infty\right)

D

x \in \left(-\infty, -4\right\rangle \cup \left\langle-3, 5\right\rangle

E

x \in \left(-\infty, 4\right\rangle

Odpověď

A.

Nápověda

Levá strana je v součinovém tvaru, stačí tedy tabulka znamének jako v příkladu 1.3. Doporučujeme nejdřív upravit činitel $4-x$ na tvar $-(x-4)$ , aby všechny závorky vypadaly stejně; znaménko „ $-$ “ pak vytkneme před celý součin.

Postup řešení

Nejprve upravíme třetí činitel: $4-x = -(x-4)$ . Nerovnice tedy zní

$-(x-3)(x+5)(x-4) \geq 0 \quad \iff \quad (x+5)(x-3)(x-4) \leq 0,$

kde jsme obě strany vynásobili číslem $-1$ a obrátili znaménko nerovnosti.

Nulové body jsou $-5$ , $3$ a $4$ ; sestavíme tabulku znamének:

	$\left(-\infty, -5\right)$	$\left(-5, 3\right)$	$\left(3, 4\right)$	$\left(4, +\infty\right)$
$x+5$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x-3$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x-4$	$-$	$-$	$-$	$+$
součin	$-$	$+$	$-$	$+$

Součin je záporný na intervalech $\left(-\infty, -5\right)$ a $\left(3, 4\right)$ . Protože je nerovnost neostrá, přidáme i nulové body $-5$ , $3$ a $4$ . Množinou řešení je

$\left(-\infty, -5\right\rangle \cup \left\langle3, 4\right\rangle.$

Příklad 1.14#

Určete množinu řešení nerovnice $\left(x-2\right)^2 \left(x+3\right) \leq 0$ .

A

\left(-\infty, -3\right\rangle \cup \left\langle2, +\infty\right)

B

\left(-\infty, -3\right\rangle

C

\left\langle-3, 2\right\rangle

D

\left(-\infty, -3\right\rangle \cup \set{2}

E

\left(-\infty, -2\right\rangle \cup \set{3}

Odpověď

D.

Nápověda

Druhá mocnina je vždy nezáporná. Rozmyslete si zvlášť případ, kdy je rovna nule – právě ten bývá zdrojem chyb.

Postup řešení

Pro každé reálné $x$ platí $(x-2)^2 \geq 0$ . Rozlišíme dva případy:

Je-li $x = 2$ , je levá strana rovna nule a nerovnost $0 \leq 0$ platí. Číslo $2$ je tedy řešením.
Je-li $x \neq 2$ , je $(x-2)^2 > 0$ a můžeme jím nerovnici vydělit, aniž bychom měnili znaménko nerovnosti. Dostaneme $x+3 \leq 0$ , tj. $x \leq -3$ .

Množinou řešení je proto

$\left(-\infty, -3\right\rangle \cup \set{2}.$

Poznámka

Tuto úlohu lze řešit i klasickou metodou intervalů. Sudá mocnina znaménko součinu nemění, přidává však do množiny řešení svůj nulový bod – ovšem jen tehdy, je-li nerovnost neostrá. Kdyby v zadání bylo $<$ místo $\leq$ , byl by výsledek pouze $\left(-\infty, -3\right)$ .

Příklad 1.15#

Řešte nerovnici $\left|3x\right| < x+1$ .

A

x \in \left(-\infty, \frac{1}{2}\right)

B

x \in \left(\frac{1}{2}, +\infty\right)

C

x \in \left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)

D

x \in \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{1}{4}\right)

E

x \in \left(\frac{1}{4}, +\infty\right)

Odpověď

C.

Nápověda

Použijte ekvivalenci $|A| < B \iff -B < A < B$ . Ta platí pro libovolné reálné $B$ : je-li $B \leq 0$ , jsou obě strany nesplnitelné, takže podmínku $x+1>0$ není třeba řešit zvlášť.

Postup řešení

Podle ekvivalence $|A| < B \iff -B < A < B$ je daná nerovnice ekvivalentní dvojité nerovnosti

$-(x+1) < 3x < x+1,$

tedy soustavě dvou nerovnic. Z pravé dostáváme

$3x < x+1 \quad \iff \quad 2x < 1 \quad \iff \quad x < \frac{1}{2},$

z levé

$-(x+1) < 3x \quad \iff \quad -1 < 4x \quad \iff \quad x > -\frac{1}{4}.$

Průnikem obou podmínek je množina řešení

$\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right).$

Poznámka

Že podmínka $x+1 > 0$ vyšla „sama“, není náhoda: kdyby bylo $x+1 \leq 0$ , nemohla by nerovnost $|3x| < x+1$ platit, protože absolutní hodnota je vždy nezáporná. Přesto je dobré si to uvědomit – u nerovnice s $\geq$ místo $<$ by se situace zásadně lišila.

Příklad 1.16#

Určete množinu řešení nerovnice $|x-1| + 2x > 4$ .

A

\left(\frac{5}{3}, +\infty\right)

B

\left(3, +\infty\right)

C

\left(\frac{5}{3}, 3\right)

D

\left(1, \frac{5}{3}\right) \cup \left(3, +\infty\right)

E

\left(-3, 1\right) \cup \left(\frac{5}{3}, +\infty\right)

Odpověď

A.

Nápověda

Použijte ekvivalenci

$|A| > B \quad \iff \quad A > B \ \text{ nebo } \ A < -B.$

Ta platí pro libovolné reálné $B$ , není tedy třeba rozlišovat případy podle jeho znaménka: je-li $B < 0$ , je levá strana splněna automaticky (neboť $|A| \geq 0 > B$ ) a pravá také, protože podmínky $A > B$ a $A < -B$ tehdy pokrývají celou reálnou osu.

Postup řešení

Nejprve upravíme nerovnost na tvar $|A| > B$ :

$|x-1| + 2x > 4 \quad \iff \quad |x-1| > 4-2x.$

Podle uvedené ekvivalence přepíšeme danou nerovnici na dvě lineární nerovnice a každou z nich vyřešíme zvlášť:

$\begin{aligned} x-1 > 4-2x & \quad \iff \quad x > \frac{5}{3}, \\ x-1 < -(4-2x) & \quad \iff \quad x > 3. \end{aligned}$

Kvůli spojce „nebo“ obě množiny řešení sjednotíme. Protože $\left(3, +\infty\right) \subset \left(\frac{5}{3}, +\infty\right)$ , dostáváme

$x \in \left(\frac{5}{3}, +\infty\right).$

Jiný postup: Nulový bod výrazu $x-1$ je $x = 1$ .

Pro $x \in \left\langle1, +\infty\right)$ je $|x-1| = x-1$ , tedy

$\begin{aligned} (x-1) + 2x & > 4, \\ 3x & > 5, \\ x & > \frac{5}{3}. \end{aligned}$

Protože $\frac{5}{3} > 1$ , je průnikem s uvažovaným intervalem množina $\left(\frac{5}{3}, +\infty\right)$ .
Pro $x \in \left(-\infty, 1\right)$ je $|x-1| = -(x-1)$ , tedy

$\begin{aligned} -(x-1) + 2x & > 4, \\ x+1 & > 4, \\ x & > 3. \end{aligned}$

Průnik množiny $\left(3, +\infty\right)$ s intervalem $\left(-\infty, 1\right)$ je prázdný, řešení zde tedy není.

Množinou řešení je proto $\left(\frac{5}{3}, +\infty\right)$ .

Příklad 1.17#

Řešte nerovnici $|x+3| > |x-2|$ .

A

x \in \R

B

x \in \left(-\infty, -3\right) \cup \left\langle2, +\infty\right)

C

x \in \left(-\infty, -\frac{1}{2}\right)

D

x \in \left(-\frac{1}{2}, 2\right\rangle

E

x \in \left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Obě strany nerovnice jsou nezáporné, takže je můžeme umocnit na druhou – jde o ekvivalentní úpravu. Vzniklou nerovnici pak výhodně upravíme pomocí vzorce $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ . (Samozřejmě lze postupovat i metodou nulových bodů, výpočet je však delší.)

Postup řešení

Obě strany nerovnice jsou nezáporné, a proto je umocnění na druhou ekvivalentní úpravou. S využitím $|A|^2 = A^2$ dostaneme

$(x+3)^2 > (x-2)^2 \quad \iff \quad (x+3)^2 - (x-2)^2 > 0.$

Levou stranu rozložíme podle vzorce $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ :

$\begin{aligned} \bigl[(x+3) - (x-2)\bigr] \cdot \bigl[(x+3) + (x-2)\bigr] & > 0, \\ 5 \cdot (2x+1) & > 0, \\ x & > -\frac{1}{2}. \end{aligned}$

Množinou řešení je tedy interval $\left(-\frac{1}{2}, +\infty\right)$ .

Poznámka

Geometricky: $|x+3| = |x-(-3)|$ je vzdálenost bodu $x$ od bodu $-3$ a $|x-2|$ jeho vzdálenost od bodu $2$ . Hledáme tedy body, které jsou blíž k bodu $2$ než k bodu $-3$ , což je přesně pravá polorovina od středu úsečky $\left\langle-3, 2\right\rangle$ . Ten leží v bodě $\frac{-3+2}{2} = -\frac{1}{2}$ , takže výsledek můžeme napsat okamžitě.

Příklad 1.18#

Řešte nerovnici $x^2+7x-30 \geq 0$ .

A

x \in \left\langle-10, 3\right\rangle

B

x \in \left(-\infty, -10\right\rangle \cup \left\langle3, +\infty\right)

C

x \in \left(-\infty, -3\right\rangle \cup \left\langle10, +\infty\right)

D

x \in \left\langle-3, 10\right\rangle

E

x \in \left(-\infty, 3\right\rangle \cup \left\langle10, +\infty\right)

Odpověď

B.

Nápověda

Najděte kořeny kvadratického trojčlenu a využijte, že parabola $y = x^2+7x-30$ je otevřená nahoru: mezi kořeny leží pod osou $x$ , vně nich nad ní.

Postup řešení

Kořeny trojčlenu určíme ze vzorce pro kvadratickou rovnici. Diskriminant je

$D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49+120 = 169, \qquad \sqrt{D} = 13,$

takže

$x_{1,2} = \frac{-7 \pm 13}{2}, \qquad x_1 = 3, \quad x_2 = -10.$

Trojčlen lze proto rozložit jako $x^2+7x-30 = (x-3)(x+10)$ . Koeficient u $x^2$ je kladný, takže odpovídající parabola je otevřená nahoru: nezáporných hodnot nabývá právě vně kořenů a v kořenech samotných. Množinou řešení je tedy

$\left(-\infty, -10\right\rangle \cup \left\langle3, +\infty\right).$

Poznámka

Kořeny lze v takto jednoduchém případě uhodnout i z Viètových vztahů: hledáme dvě čísla se součtem $-7$ a součinem $-30$ , tedy $3$ a $-10$ . Správnost výsledku si vždy můžeme rychle ověřit dosazením jedné „zkušební“ hodnoty z každého intervalu, například $x = 0$ : pak $-30 \geq 0$ neplatí, a interval $\left(-10, 3\right)$ tedy do řešení opravdu nepatří.

Příklad 1.19#

Řešte nerovnici $-x^2+3x+10 > 0$ .

A

x \in \left(2, 5\right)

B

x \in \left(-\infty, -5\right) \cup \left(2, +\infty\right)

C

x \in \left(-5, 2\right)

D

x \in \left(-\infty, -2\right) \cup \left(5, +\infty\right)

E

x \in \left(-2, 5\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Vynásobením číslem $-1$ převedete nerovnici na tvar s kladným koeficientem u $x^2$ (nezapomeňte obrátit znaménko nerovnosti). Případně si uvědomte, že parabola je zde otevřená dolů, a kladných hodnot tedy nabývá právě mezi kořeny.

Postup řešení

Obě strany vynásobíme číslem $-1$ a obrátíme znaménko nerovnosti:

$-x^2+3x+10 > 0 \quad \iff \quad x^2-3x-10 < 0.$

Diskriminant je

$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9+40 = 49, \qquad \sqrt{D} = 7,$

takže

$x_{1,2} = \frac{3 \pm 7}{2}, \qquad x_1 = 5, \quad x_2 = -2,$

a tedy $x^2-3x-10 = (x+2)(x-5)$ .

Parabola $y = x^2-3x-10$ je otevřená nahoru, záporných hodnot proto nabývá právě mezi kořeny. Množinou řešení je interval $\left(-2, 5\right)$ .

Poznámka

Kdo nerovnici nenásobí číslem $-1$ , pracuje rovnou s parabolou $y = -x^2+3x+10$ otevřenou dolů; ta je kladná právě mezi svými kořeny, což vede ke stejnému výsledku. Obě cesty jsou správné – důležité je vědět, proč se pravidlo „mezi kořeny“ obrací spolu se znaménkem vedoucího koeficientu.

Příklad 1.20#

Řešte nerovnici $\left(x-1\right)^2 < 16$ .

A

x \in \left(-5, 3\right)

B

x \in \left(-4, 4\right)

C

x \in \left(-3, 5\right)

D

x \in \left(-\infty, -3\right) \cup \left(5, +\infty\right)

E

x \in \left(-\infty, -4\right) \cup \left(4, +\infty\right)

Odpověď

C.

Nápověda

Pozor, odmocninou z $(x-1)^2$ je $|x-1|$ , nikoli $x-1$ . Nerovnici lze proto přepsat jako $|x-1| < 4$ ; druhou možností je převést vše na jednu stranu a použít vzorec $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Postup řešení

Protože $\sqrt{(x-1)^2} = |x-1|$ a $\sqrt{16} = 4$ , je daná nerovnice ekvivalentní nerovnici $|x-1| < 4$ , tedy

$\begin{aligned} -4 & < x-1 < 4, \\ -3 & < x \phantom{{}-1} < 5. \end{aligned}$

Množinou řešení je interval $\left(-3, 5\right)$ .

Jiný postup: Převedeme vše na jednu stranu a rozložíme podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin:

$(x-1)^2 - 16 < 0 \quad \iff \quad (x-1-4)(x-1+4) < 0 \quad \iff \quad (x-5)(x+3) < 0,$

odkud opět $x \in \left(-3, 5\right)$ .

Příklad 1.21#

Určete nejmenší řešení nerovnice $\left|x^2-x+1\right| \geq \left|x^2-3x+4\right|$ .

A

x = \frac{1}{2}

B

x = 0

C

x = 2

D

x = \frac{3}{2}

Eneexistuje

Odpověď

D.

Nápověda

Podívejte se na diskriminanty (nebo doplňte na čtverec) obou kvadratických trojčlenů. Zjistíte, že oba jsou pro každé reálné $x$ kladné, a absolutní hodnoty tedy lze rovnou vynechat. Nerovnici lze samozřejmě řešit i umocněním obou stran na druhou jako v příkladu 1.17.

Postup řešení

Nejprve zjistíme, jakých znamének mohou oba trojčleny nabývat. Doplněním na čtverec dostaneme

$x^2-x+1 = \left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0, \qquad x^2-3x+4 = \left(x-\frac{3}{2}\right)^2 + \frac{7}{4} > 0$

pro každé reálné $x$ . (Ke stejnému závěru vede i výpočet diskriminantů $D_1 = 1-4 = -3 < 0$ a $D_2 = 9-16 = -7 < 0$ : trojčleny nemají reálné kořeny, a protože je koeficient u $x^2$ kladný, jsou všude kladné.)

Absolutní hodnoty tedy můžeme na obou stranách vynechat:

$\begin{aligned} x^2-x+1 & \geq x^2-3x+4, \\ -x+1 & \geq -3x+4, \\ 2x & \geq 3, \\ x & \geq \frac{3}{2}. \end{aligned}$

Množinou řešení je interval $\left\langle\frac{3}{2}, +\infty\right)$ . Protože je nerovnost neostrá, patří do něj i jeho krajní bod, a nejmenším řešením je proto $x = \frac{3}{2}$ .

Jiný postup: Obě strany jsou nezáporné, můžeme je tedy umocnit na druhou a použít vzorec $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ :

$\begin{aligned} \bigl[(x^2-x+1) - (x^2-3x+4)\bigr] \cdot \bigl[(x^2-x+1) + (x^2-3x+4)\bigr] & \geq 0, \\ (2x-3) \cdot (2x^2-4x+5) & \geq 0. \end{aligned}$

Druhý činitel má diskriminant $16-40 = -24 < 0$ , a je proto vždy kladný; zbývá tedy $2x-3 \geq 0$ , což opět dává $x \geq \frac{3}{2}$ .

Příklad 1.22#

Určete hodnoty reálného parametru $p$ tak, aby jeden kořen rovnice $3x^2-24x+p = 0$ byl trojnásobkem druhého kořene, a rozhodněte, které tvrzení je pravdivé.

ATakových

p

je nekonečně mnoho.

B

p = 108

C

p = 12

DTakový parametr

p

neexistuje.

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

E.

Nápověda

Označte kořeny $x_1 = t$ a $x_2 = 3t$ a použijte Viètovy vztahy. Pozor: pro rovnici $ax^2+bx+c = 0$ mají tvar $x_1+x_2 = -\frac{b}{a}$ a $x_1 x_2 = \frac{c}{a}$ , je tedy nejprve vhodné vydělit rovnici koeficientem $3$ . Nakonec pečlivě porovnejte nalezenou hodnotu s nabízenými možnostmi.

Postup řešení

Rovnici vydělíme koeficientem $3$ :

$x^2-8x+\frac{p}{3} = 0.$

Podle Viètových vztahů pro kořeny $x_1$ , $x_2$ platí

$x_1+x_2 = 8, \qquad x_1 x_2 = \frac{p}{3}.$

Podle zadání je $x_2 = 3x_1$ . Z prvního vztahu dostáváme

$x_1 + 3x_1 = 4x_1 = 8, \qquad \text{tedy} \qquad x_1 = 2, \quad x_2 = 6.$

Druhý vztah pak dává $\frac{p}{3} = 2 \cdot 6 = 12$ , tedy $p = 36$ .

Zkouška: $3x^2-24x+36 = 3(x^2-8x+12) = 3(x-2)(x-6)$ , kořeny jsou opravdu $2$ a $6$ a platí $6 = 3 \cdot 2$ .

Jediná vyhovující hodnota je tedy $p = 36$ , která ale mezi možnostmi A–D není.

Poznámka

U úloh tohoto typu se vyplatí ověřit i to, zda nalezená hodnota parametru skutečně dává reálné kořeny – zde je diskriminant rovnice $x^2-8x+12$ roven $64-48 = 16 > 0$ , takže vše je v pořádku.

Příklad 1.23#

Určete hodnoty parametrů $a$ , $b$ , $c$ tak, aby rovnost $(2a-3x)(bx+3) = 9x^2+2cx+2$ platila pro každé reálné číslo $x$ , a rozhodněte, které tvrzení je pravdivé.

AExistuje více trojic parametrů splňujících podmínky.

BSoučin všech parametrů je

\frac{11}{2}

.

C

a = 3

,

b = -3

,

c = \frac{11}{2}

.

DTakové hodnoty parametrů neexistují.

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

B.

Nápověda

Roznásobte levou stranu a uspořádejte ji podle mocnin $x$ . Dva polynomy se rovnají pro všechna $x$ právě tehdy, když se shodují v koeficientech u odpovídajících mocnin – odtud dostanete soustavu tří rovnic pro $a$ , $b$ , $c$ .

Postup řešení

Levou stranu roznásobíme a uspořádáme podle mocnin $x$ :

$(2a-3x)(bx+3) = 2abx + 6a - 3bx^2 - 9x = -3b \cdot x^2 + (2ab-9) \cdot x + 6a.$

Aby rovnost platila pro každé reálné $x$ , musí se oba polynomy shodovat ve všech koeficientech:

$\begin{aligned} x^2: \quad & -3b = 9, \\ x^1: \quad & 2ab-9 = 2c, \\ x^0: \quad & 6a = 2. \end{aligned}$

Z první rovnice $b = -3$ , ze třetí $a = \frac{1}{3}$ . Dosazením do druhé

$2 \cdot \frac{1}{3} \cdot (-3) - 9 = -2-9 = -11 = 2c, \qquad \text{tedy} \qquad c = -\frac{11}{2}.$

Vyhovující trojice je tedy jediná, a to $a = \frac{1}{3}$ , $b = -3$ , $c = -\frac{11}{2}$ . Součin všech parametrů je

$abc = \frac{1}{3} \cdot (-3) \cdot \left(-\frac{11}{2}\right) = \frac{11}{2}.$

Pravdivé je proto tvrzení o součinu parametrů; možnost A je nepravdivá (trojice je jediná) a možnost C uvádí jiné hodnoty.

Příklad 1.24#

Najděte všechny hodnoty parametru $c$ , pro které má rovnice $3x^2-2x+c = 0$ alespoň jeden společný kořen s rovnicí $x^2+x-2 = 0$ .

A

-5

;

-1{,}6

B

8

;

1

C

-16

;

-1

D

8

;

-1

E

5

;

1{,}6

Odpověď

C.

Nápověda

Případný společný kořen musí být především kořenem té rovnice, kterou umíme vyřešit bez parametru. Najděte tedy kořeny rovnice $x^2+x-2 = 0$ a každý z nich postupně dosaďte do rovnice první – vyjde vám hodnota parametru $c$ .

Postup řešení

Nejprve vyřešíme rovnici bez parametru:

$x^2+x-2 = 0 \quad \iff \quad (x-1)(x+2) = 0 \quad \iff \quad x = 1 \ \text{ nebo } \ x = -2.$

Společný kořen obou rovnic může být pouze jedno z čísel $1$ , $-2$ . Dosadíme je postupně do rovnice $3x^2-2x+c = 0$ :

Pro $x = 1$ dostaneme $3-2+c = 0$ , tedy $c = -1$ .
Pro $x = -2$ dostaneme $12+4+c = 0$ , tedy $c = -16$ .

Obě hodnoty vyhovují: pro $c = -1$ má rovnice $3x^2-2x-1 = 0$ kořeny $1$ a $-\frac{1}{3}$ , pro $c = -16$ má rovnice $3x^2-2x-16 = 0$ kořeny $-2$ a $\frac{8}{3}$ . V obou případech je jeden z kořenů společný s druhou rovnicí. Hledané hodnoty parametru jsou tedy

$c = -16 \qquad \text{a} \qquad c = -1.$

Příklad 1.25#

Jsou dány množiny

$A = \set{x \in \R \mid x^2+4x-2 > 0}, \qquad B = \set{x \in \R \mid \left|x+1\right| \leq 3}.$

Určete jejich sjednocení $A \cup B$ .

A

A \cup B = \left(-\infty, -2-\sqrt{6}\right) \cup \left\langle-4, +\infty\right)

B

A \cup B = \left(-2+\sqrt{6}, 2\right\rangle

C

A \cup B = \left(-2-\sqrt{6}, -4\right)

D

A \cup B = \R

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

A.

Nápověda

Obě množiny nejprve popište jako sjednocení intervalů: u $A$ pomocí kořenů kvadratické rovnice, u $B$ pomocí geometrického významu absolutní hodnoty. Před sjednocením si odhadněte polohu iracionálních krajních bodů (platí $\sqrt{6} \doteq 2{,}45$ ), abyste věděli, které intervaly se překrývají.

Postup řešení

Množina $A$ . Kořeny rovnice $x^2+4x-2 = 0$ jsou

$x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{6}}{2} = -2 \pm \sqrt{6}.$

Parabola $y = x^2+4x-2$ je otevřená nahoru, kladných hodnot tedy nabývá vně kořenů:

$A = \left(-\infty, -2-\sqrt{6}\right) \cup \left(-2+\sqrt{6}, +\infty\right).$

Množina $B$ . Z nerovnice $|x+1| \leq 3$ dostáváme $-3 \leq x+1 \leq 3$ , tedy

$B = \left\langle-4, 2\right\rangle.$

Sjednocení. Protože $\sqrt{6} \doteq 2{,}45$ , je $-2-\sqrt{6} \doteq -4{,}45$ a $-2+\sqrt{6} \doteq 0{,}45$ . Krajní body jsou tedy uspořádány takto:

$-2-\sqrt{6} \; < \; -4 \; < \; -2+\sqrt{6} \; < \; 2.$

Interval $\left\langle-4, 2\right\rangle$ a interval $\left(-2+\sqrt{6}, +\infty\right)$ se proto překrývají a jejich sjednocením je $\left\langle-4, +\infty\right)$ . Celkem

$A \cup B = \left(-\infty, -2-\sqrt{6}\right) \cup \left\langle-4, +\infty\right).$

Poznámka

Do sjednocení nepatří interval $\left\langle-2-\sqrt{6}, -4\right)$ . Například číslo $-4{,}2$ neleží ani v $A$ , ani v $B$ , neboť

$(-4{,}2)^2 + 4 \cdot (-4{,}2) - 2 = -1{,}16 < 0 \qquad \text{a} \qquad |-4{,}2+1| = 3{,}2 > 3.$

Dosazení jedné konkrétní hodnoty je rychlý způsob, jak si výsledek zkontrolovat.

Příklad 1.26#

Řešte rovnici $6x+\dfrac{1}{x^2-9} = \dfrac{1}{x^2-9}+18$ .

A

x \in \emptyset

B

x = 0

C

x = -3

D

x = \pm 3

E

x = 3

Odpověď

A.

Nápověda

Nejprve určete definiční obor – jmenovatel nesmí být nulový. Teprve poté oba stejné zlomky odečtěte. Nezapomeňte nakonec ověřit, zda nalezené číslo do definičního oboru vůbec patří.

Postup řešení

Podmínka řešitelnosti je $x^2-9 \neq 0$ , tedy

$x \neq 3 \qquad \text{a} \qquad x \neq -3.$

Na takto určeném definičním oboru odečteme od obou stran zlomek $\frac{1}{x^2-9}$ :

$\begin{aligned} 6x & = 18, \\ x & = 3. \end{aligned}$

Číslo $3$ však do definičního oboru nepatří, a nemůže tedy být řešením. Rovnice proto nemá žádné řešení, její množina řešení je prázdná: $\emptyset$ .

Poznámka

Právě takové úlohy ukazují, proč se definiční obor určuje na začátku. Kdo podmínku neuvede, dostane „kořen“ $x = 3$ a zvolí nesprávnou odpověď E, přestože po dosazení $x = 3$ do zadání není výraz $\frac{1}{x^2-9}$ vůbec definován.

Příklad 1.27#

Která z následujících nerovnic je splněna pro každé reálné číslo $x$ ?

A

\frac{-x^2}{x^2-4} \leq 0

B

\left(\frac{x-2}{x+3}\right)^2 \geq 0

C

\frac{x^2-4}{x^2-4} \geq 0

D

\frac{x^2+1}{x^2} \geq 0

E

\frac{-x^2}{x^2+4} \leq 0

Odpověď

E.

Nápověda

U každé možnosti se nejprve ptejte, pro která $x$ má daný výraz vůbec smysl. Nerovnice může být splněna pro každé reálné číslo jen tehdy, je-li její levá strana definována v každém reálném bodě – tj. jen tehdy, když se jmenovatel nikdy nerovná nule.

Postup řešení

Postupně projdeme všechny možnosti:

A) Výraz $\frac{-x^2}{x^2-4}$ není definován pro $x = \pm 2$ . Navíc pro $x \in \left(-2, 2\right)$ , $x \neq 0$ , je čitatel záporný i jmenovatel záporný, takže zlomek je kladný a nerovnost neplatí.

B) Druhá mocnina je vždy nezáporná, nerovnost tedy platí všude, kde má výraz smysl. Pro $x = -3$ však není definován.

C) Zlomek $\frac{x^2-4}{x^2-4}$ je roven $1$ všude, kde je definován, ale pro $x = \pm 2$ definován není.

D) Výraz $\frac{x^2+1}{x^2}$ není definován pro $x = 0$ .

E) Jmenovatel splňuje $x^2+4 \geq 4 > 0$ pro každé reálné $x$ , výraz je tedy definován na celém $\R$ . Čitatel $-x^2$ je vždy nekladný, takže celý zlomek je nekladný a nerovnost $\frac{-x^2}{x^2+4} \leq 0$ platí pro každé reálné $x$ .

Hledanou nerovnicí je tedy ta z možnosti E.

Poznámka

Možnosti B, C a D jsou pastí na ty, kdo definiční obor nekontrolují: příslušné nerovnosti opravdu platí, ale jen na množině menší než $\R$ . Rozdíl mezi tvrzeními „nerovnost platí, kdykoli má smysl“ a „nerovnost platí pro každé reálné číslo“ je přitom podstatný.

Příklad 1.28#

Řešte nerovnici $\dfrac{3x+4}{x+1} \leq 2$ .

A

x \in \left\langle-\frac{4}{3}, -1\right)

B

x \in \left\langle-2, -1\right\rangle

C

x \in \left\langle-2, -1\right)

D

x \in \left\langle-\frac{4}{3}, -1\right\rangle

E

x \in \left(-\infty, -2\right\rangle \cup \left(-1, +\infty\right)

Odpověď

C.

Nápověda

Nikdy nenásobte nerovnici výrazem, jehož znaménko neznáte! Převeďte proto vše na jednu stranu a upravte na jediný zlomek. O znaménku podílu pak rozhodne tabulka znamének stejně jako u součinu – podíl má totiž vždy stejné znaménko jako součin čitatele a jmenovatele.

Postup řešení

Podmínka řešitelnosti je $x+1 \neq 0$ , tedy $x \neq -1$ .

Převedeme vše na levou stranu a upravíme na jediný zlomek:

$\frac{3x+4}{x+1} - 2 \leq 0 \quad \iff \quad \frac{3x+4-2(x+1)}{x+1} \leq 0 \quad \iff \quad \frac{x+2}{x+1} \leq 0.$

Nulové body čitatele a jmenovatele jsou $-2$ a $-1$ ; sestavíme tabulku znamének:

	$\left(-\infty, -2\right)$	$\left(-2, -1\right)$	$\left(-1, +\infty\right)$
$x+2$	$-$	$+$	$+$
$x+1$	$-$	$-$	$+$
podíl	$+$	$-$	$+$

Zlomek je záporný na intervalu $\left(-2, -1\right)$ . Protože je nerovnost neostrá, přidáme ještě nulový bod čitatele, tj. číslo $-2$ (pro $x = -2$ je zlomek roven nule). Nulový bod jmenovatele $-1$ naopak přidat nesmíme – tam výraz není definován.

Množinou řešení je tedy $\left\langle-2, -1\right)$ .

Poznámka

Typická chyba spočívá ve vynásobení nerovnice jmenovatelem $x+1$ bez rozlišení jeho znaménka; to vede na $3x+4 \leq 2x+2$ , tj. $x \leq -2$ , což je špatně. Kdo chce postupovat tímto směrem, musí rozlišit dva případy ( $x > -1$ a $x < -1$ ) a v druhém z nich obrátit nerovnost.

Příklad 1.29#

Najděte nejmenší celočíselné řešení nerovnice $\dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^2-2-x^2}{\left(x+9\right)\left(x^2+1\right)} \leq 0$ .

A

-9

B

-8

C

0

D

9

E

1

Odpověď

C.

Nápověda

Klíčová je podmínka plynoucí z odmocniny. Rozmyslete si, pro která $x$ je výraz $\sqrt{x}$ vůbec definován – teprve na této množině smíme psát $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ . Poté už stačí určit znaménko čitatele a jmenovatele.

Postup řešení

Definiční obor. Výraz $\sqrt{x}$ má smysl pouze pro $x \geq 0$ . Jmenovatel musí být nenulový: $x^2+1 > 0$ platí vždy a $x+9 \neq 0$ vylučuje $x = -9$ , což je však už podmínkou $x \geq 0$ zaručeno. Definičním oborem je tedy interval $\left\langle0, +\infty\right)$ .

Znaménko čitatele. Pro $x \geq 0$ platí $\left(\sqrt{x}\right)^2 = x$ , takže čitatel je roven

$x-2-x^2 = -\left(x^2-x+2\right).$

Trojčlen $x^2-x+2$ má diskriminant $D = 1-8 = -7 < 0$ a kladný koeficient u $x^2$ , je tedy pro každé $x$ kladný. Čitatel je proto vždy záporný.

Znaménko jmenovatele. Pro $x \geq 0$ je $x+9 \geq 9 > 0$ a $x^2+1 \geq 1 > 0$ , jmenovatel je tedy kladný.

Zlomek je tudíž pro každé $x$ z definičního oboru záporný, a nerovnost $\leq 0$ tedy platí na celém definičním oboru. Množinou řešení je $\left\langle0, +\infty\right)$ a jejím nejmenším celočíselným prvkem je $0$ .

Poznámka

Možnosti A a B jsou nachystány právě pro ty, kdo podmínku $x \geq 0$ přehlédnou a mechanicky pracují jen s nulovým bodem jmenovatele $x = -9$ . Zápis $\left(\sqrt{x}\right)^2$ přitom není totéž co $\sqrt{x^2} = |x|$ – první výraz je definován jen pro $x \geq 0$ , druhý pro všechna reálná $x$ .

Příklad 1.30#

Určete množinu řešení nerovnice $\dfrac{\left(x-1\right)^2 \left(x+7\right) \left(x+3\right)^3}{x^2+6x+9} \geq 0$ .

A

\left\langle-7, -3\right) \cup \left\langle1, +\infty\right)

B

\left(-\infty, -7\right\rangle \cup \left(-3, +\infty\right)

C

\left\langle-7, -3\right)

D

\left(-\infty, 3\right) \cup \left\langle7, +\infty\right)

E

\left(3, 7\right\rangle

Odpověď

B.

Nápověda

Jmenovatel je úplný čtverec: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$ . Po zkrácení se výraz podstatně zjednoduší – podmínku $x \neq -3$ z původního zadání si ale musíme pamatovat i po krácení.

Postup řešení

Jmenovatel rozložíme podle vzorce pro druhou mocninu dvojčlenu: $x^2+6x+9 = (x+3)^2$ . Podmínka řešitelnosti je tedy $x \neq -3$ .

Pro $x \neq -3$ můžeme krátit:

$\frac{(x-1)^2 (x+7) (x+3)^3}{(x+3)^2} = (x-1)^2 (x+7)(x+3).$

Činitel $(x-1)^2$ je nezáporný a pro $x \neq 1$ dokonce kladný; znaménko součinu tedy neovlivňuje, pouze pro $x = 1$ je celý výraz nulový (a nerovnost neostře splněna). Zbývá určit, kdy je $(x+7)(x+3) \geq 0$ :

	$\left(-\infty, -7\right)$	$\left(-7, -3\right)$	$\left(-3, +\infty\right)$
$x+7$	$-$	$+$	$+$
$x+3$	$-$	$-$	$+$
součin	$+$	$-$	$+$

Součin je nezáporný na $\left(-\infty, -7\right\rangle$ a na $\left\langle-3, +\infty\right)$ . Bod $-3$ však musíme vyloučit, neboť tam původní výraz není definován. Bod $1$ do řešení patří (výraz je tam nulový) a v nalezené množině již obsažen je.

Množinou řešení je proto

$\left(-\infty, -7\right\rangle \cup \left(-3, +\infty\right).$

Poznámka

Krácení zlomku je zde pohodlné, ale zrádné: po zkrácení už z výrazu $(x-1)^2(x+7)(x+3)$ nijak nepoznáme, že bod $-3$ musí být vyloučen. Podmínky definičního oboru je proto nutné zapsat dříve, než začneme krátit.

Příklad 1.31#

Najděte množinu řešení rovnice $\dfrac{3x+4}{x+1} = 2$ .

A

\set{-1}

B

\set{-1, -\frac{4}{3}}

C

\set{-\frac{4}{3}}

D

\set{-2}

E

\set{2}

Odpověď

D.

Nápověda

Určete podmínku pro jmenovatel a poté rovnici jmenovatelem vynásobte. Porovnejte s příkladem 1.28: u rovnice smíme násobit nenulovým výrazem bez ohledu na jeho znaménko, u nerovnice nikoli – proto je rovnice výrazně jednodušší.

Postup řešení

Podmínka řešitelnosti je $x+1 \neq 0$ , tedy $x \neq -1$ . Za této podmínky můžeme rovnici vynásobit jmenovatelem:

$\begin{aligned} 3x+4 & = 2(x+1), \\ 3x+4 & = 2x+2, \\ x & = -2. \end{aligned}$

Nalezené číslo podmínku splňuje, množinou řešení je tedy $\set{-2}$ .

Příklad 1.32#

Najděte množinu řešení rovnice $\dfrac{(x^2-9)(x^2-16)}{(x-3)(x+4)} = 0$ .

A

\set{-4, -3, 3, 4}

B

\set{3, 4}

C

\set{-3, -4}

D

\set{-3, 4}

E

\set{-4, 3}

Odpověď

D.

Nápověda

Zlomek je roven nule právě tehdy, když je jeho čitatel nulový a zároveň je jmenovatel od nuly různý. Nejprve tedy vylučte body, v nichž jmenovatel mizí, a teprve pak hledejte kořeny čitatele (rozložte jej pomocí vzorce $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ ).

Postup řešení

Podmínky řešitelnosti jsou $x \neq 3$ a $x \neq -4$ .

Čitatel rozložíme podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin:

$(x^2-9)(x^2-16) = (x-3)(x+3)(x-4)(x+4).$

Je tedy nulový právě pro $x \in \set{-4, -3, 3, 4}$ . Čísla $3$ a $-4$ však musíme podle podmínek vyloučit, neboť v nich není definován ani původní zlomek.

Množinou řešení je proto $\set{-3, 4}$ .

Poznámka

Po zkrácení má levá strana tvar $(x+3)(x-4)$ , jehož kořeny jsou $-3$ a $4$ ; zkrácený výraz sám o sobě už ale o vyloučených bodech nic neříká. Zde krácení výsledek naštěstí nezkreslí, protože vyloučené body $3$ a $-4$ nejsou kořeny zkráceného výrazu – spoléhat se na to však nelze.

Příklad 1.33#

Určete množinu řešení nerovnice $\dfrac{7}{\left|x\right|+5} < 1$ .

A

\R

B

\left(-2, 2\right)

C

\left(-\infty, -2\right) \cup \left(2, +\infty\right)

D

\left(-\infty, -5\right) \cup \left(2, +\infty\right)

E

\left(-5, 2\right)

Odpověď

C.

Nápověda

Jmenovatel $|x|+5$ je pro každé reálné $x$ kladný – můžeme jím tedy bez obav vynásobit a znaménko nerovnosti se nezmění. Zbude jednoduchá nerovnice s absolutní hodnotou.

Postup řešení

Protože $|x| \geq 0$ , platí $|x|+5 \geq 5 > 0$ pro každé reálné $x$ . Výraz je tedy definován na celém $\R$ a nerovnici smíme jmenovatelem vynásobit, aniž bychom obraceli znaménko:

$\begin{aligned} 7 & < |x|+5, \\ |x| & > 2. \end{aligned}$

Nerovnice $|x| > 2$ znamená, že vzdálenost čísla $x$ od nuly je větší než $2$ , tedy $x < -2$ nebo $x > 2$ . Množinou řešení je

$\left(-\infty, -2\right) \cup \left(2, +\infty\right).$

Příklad 1.34#

Řešte nerovnici $\left|\dfrac{2x+1}{x-3} + 1\right| \leq 1$ .

A

x \in \left\langle-\frac{1}{2}, 3\right)

B

x \in \left\langle-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right\rangle \cup \left(3, +\infty\right)

C

x \in \R \setminus \set{3}

D

x \in \left\langle-\frac{1}{2}, 3\right) \cup \left(3, +\infty\right)

E

x \in \left\langle-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right\rangle

Odpověď

E.

Nápověda

Nejprve sečtěte výraz uvnitř absolutní hodnoty do jediného zlomku. Pak využijte $\left|\frac{A}{B}\right| = \frac{|A|}{|B|}$ a nerovnost převeďte na tvar $|A| \leq |B|$ , který už umíme řešit umocněním obou (nezáporných) stran na druhou.

Postup řešení

Podmínka řešitelnosti je $x \neq 3$ .

Výraz uvnitř absolutní hodnoty sečteme do jediného zlomku:

$\frac{2x+1}{x-3} + 1 = \frac{2x+1 + (x-3)}{x-3} = \frac{3x-2}{x-3}.$

Nerovnice tedy zní $\left|\frac{3x-2}{x-3}\right| \leq 1$ , což lze zapsat jako $\frac{|3x-2|}{|x-3|} \leq 1$ . Protože $|x-3| > 0$ , smíme jím vynásobit:

$|3x-2| \leq |x-3|.$

Obě strany jsou nezáporné, umocnění na druhou je proto ekvivalentní úpravou:

$\begin{aligned} (3x-2)^2 - (x-3)^2 & \leq 0, \\ \bigl[(3x-2)-(x-3)\bigr] \cdot \bigl[(3x-2)+(x-3)\bigr] & \leq 0, \\ (2x+1)(4x-5) & \leq 0, \end{aligned}$

kde jsme opět použili vzorec $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ .

Kořeny činitelů jsou $-\frac{1}{2}$ a $\frac{5}{4}$ . Součin dvou lineárních dvojčlenů s kladnými vedoucími koeficienty je nekladný právě mezi kořeny (včetně nich), tedy

$x \in \left\langle-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right\rangle.$

Podmínka $x \neq 3$ je přitom splněna automaticky, protože $3 \notin \left\langle-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right\rangle$ . Množinou řešení je proto $\left\langle-\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right\rangle$ .

Příklad 1.35#

Řešte nerovnici $\dfrac{x^2-5x+6}{x^2+2x-8} \leq 1$ .

A

x \in \left(-4, 3\right)

B

x \in \left(-3, 4\right)

C

x \in \left(-\infty, -4\right)

D

x \in \left(-4, +\infty\right)

E

x \in \left(-4, 2\right) \cup \left(2, +\infty\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Jmenovatelem nenásobte – jeho znaménko neznáme. Převeďte vše na jednu stranu a upravte na jediný zlomek; po odečtení jedničky se čitatel výrazně zjednoduší a objeví se v něm činitel, který lze se jmenovatelem zkrátit. Podmínku $x \neq 2$ si ale musíme uchovat.

Postup řešení

Jmenovatel rozložíme: $x^2+2x-8 = (x+4)(x-2)$ . Podmínky řešitelnosti jsou tedy $x \neq -4$ a $x \neq 2$ .

Převedeme vše na levou stranu:

$\begin{aligned} \frac{x^2-5x+6}{(x+4)(x-2)} - 1 & \leq 0, \\ \frac{x^2-5x+6 - \left(x^2+2x-8\right)}{(x+4)(x-2)} & \leq 0, \\ \frac{-7x+14}{(x+4)(x-2)} & \leq 0, \\ \frac{-7(x-2)}{(x+4)(x-2)} & \leq 0. \end{aligned}$

Protože $x \neq 2$ , můžeme činitelem $x-2$ zkrátit:

$\frac{-7}{x+4} \leq 0 \quad \iff \quad \frac{7}{x+4} \geq 0 \quad \iff \quad x+4 > 0 \quad \iff \quad x > -4,$

neboť čitatel $7$ je kladný, a zlomek je proto nezáporný právě tehdy, když je jmenovatel kladný (nulový být nemůže).

Se započtením podmínky $x \neq 2$ je množinou řešení

$\left(-4, 2\right) \cup \left(2, +\infty\right).$

Příklad 1.36#

Určete množinu řešení nerovnice $\dfrac{15+2x-x^2}{(x-5)(a-x)} \leq 0$ , je-li $a$ reálný parametr splňující $-3 < a < 5$ .

A

\left\langle-3, a\right\rangle

B

\left\langle-3, a\right)

C

\left(-\infty, -3\right\rangle \cup \left(5, +\infty\right)

D

\left(-\infty, -3\right\rangle \cup \left\langle5, +\infty\right)

E

\left(-\infty, -3\right\rangle \cup \left(a, 5\right) \cup \left(5, +\infty\right)

Odpověď

B.

Nápověda

Čitatel rozložte na součin kořenových činitelů – objeví se v něm závorka, která je i ve jmenovateli. Po zkrácení nezapomeňte na podmínky $x \neq 5$ a $x \neq a$ a využijte, že podle zadání platí $-3 < a < 5$ ; jen díky tomu víme, jak jsou nulové body na ose uspořádány.

Postup řešení

Podmínky řešitelnosti jsou $x \neq 5$ a $x \neq a$ .

Čitatel rozložíme. Kořeny rovnice $-x^2+2x+15 = 0$ , tj. $x^2-2x-15 = 0$ , jsou $5$ a $-3$ , takže

$15+2x-x^2 = -\left(x^2-2x-15\right) = -(x-5)(x+3).$

Pro $x \neq 5$ tedy můžeme zkrátit:

$\frac{-(x-5)(x+3)}{(x-5)(a-x)} = \frac{-(x+3)}{a-x} = \frac{x+3}{x-a},$

kde jsme v posledním kroku vynásobili čitatele i jmenovatele číslem $-1$ .

Řešíme tedy nerovnici $\frac{x+3}{x-a} \leq 0$ . Podle předpokladu je $-3 < a$ , nulové body jsou proto na ose uspořádány takto:

	$\left(-\infty, -3\right)$	$\left(-3, a\right)$	$\left(a, +\infty\right)$
$x+3$	$-$	$+$	$+$
$x-a$	$-$	$-$	$+$
podíl	$+$	$-$	$+$

Zlomek je záporný na intervalu $\left(-3, a\right)$ . Nerovnost je neostrá, přidáme tedy nulový bod čitatele $-3$ ; bod $a$ naopak přidat nesmíme, protože tam výraz není definován. Podmínka $x \neq 5$ je splněna automaticky, neboť $a < 5$ .

Množinou řešení je proto $\left\langle-3, a\right)$ .

Poznámka

Předpoklad $-3 < a < 5$ je pro řešení podstatný – určuje totiž vzájemnou polohu bodů $-3$ , $a$ a $5$ na ose. Kdyby například platilo $a < -3$ , měla by tabulka znamének jiné pořadí sloupců a výsledkem by byl interval $\left(a, -3\right\rangle$ . U úloh s parametrem se proto vždy vyplatí nejprve si rozmyslet, jak jsou nulové body uspořádány.

Lineární výrazy a výrazy s absolutní hodnotou

Základní příklady

Doplňující příklady

Kvadratické výrazy

Základní příklady

Doplňující příklady

Racionální lomené výrazy

Základní příklady

Doplňující příklady

Potvrzení