Elementární funkce

Příklad 2.1#

Zjistěte, které z následujících čísel je kořenem polynomu $x^3+3x^2+3x+2$ .

A

2

B

1

C

0

D

-1

E

-2

Odpověď

E.

Nápověda

Dosadit všech pět čísel je zde nejrychlejší cesta. Vyplatí se ale okruh kandidátů nejprve zúžit: má-li polynom celočíselné koeficienty, může být jeho celočíselným kořenem pouze dělitel absolutního členu. Číslo $0$ tedy můžete vyloučit okamžitě.

Postup řešení

Připomeňme si nejprve potřebné pojmy. Číslo $c$ (reálné, nebo komplexní) nazýváme kořenem nenulového polynomu

$P_n(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$

( $n \in \N \cup \set{0}$ , $a_0, a_1, \dots, a_n \in \C$ , $a_n \neq 0$ ), pokud $P_n(c) = 0$ .

Takový polynom lze pak zapsat ve tvaru součinu $P_n(x) = (x-c) \, Q_{n-1}(x)$ , kde závorka $(x-c)$ je tzv. kořenový činitel příslušný ke kořenu $c$ a polynom $Q_{n-1}(x)$ má stupeň o $1$ menší než $P_n(x)$ . V případě $k$ -násobného kořene $c$ máme rozklad $P_n(x) = (x-c)^k \, Q_{n-k}(x)$ , kde $Q_{n-k}(c) \neq 0$ .

Navíc platí: je-li $P_n(x)$ polynom s celočíselnými koeficienty, může být jeho celočíselným kořenem pouze dělitel absolutního členu $a_0$ .

V našem případě je $a_0 = 2$ , takže kandidáty na celočíselný kořen jsou pouze čísla $\pm1$ a $\pm2$ . Číslo $0$ kořenem být nemůže, neboť $P_3(0) = a_0 = 2 \neq 0$ . Zbývající čísla dosadíme:

$\begin{aligned} P_3(1) & = 1+3+3+2 = 9, \\ P_3(-1) & = -1+3-3+2 = 1, \\ P_3(2) & = 8+12+6+2 = 28, \\ P_3(-2) & = -8+12-6+2 = 0. \end{aligned}$

Kořenem daného polynomu je tedy číslo $-2$ .

Poznámka

Vydělením kořenovým činitelem dostaneme rozklad

$x^3+3x^2+3x+2 = (x+2)\left(x^2+x+1\right).$

Trojčlen $x^2+x+1$ má diskriminant $D = 1-4 = -3 < 0$ , takže reálné kořeny nemá. Číslo $-2$ je proto jediným reálným kořenem daného polynomu.

Příklad 2.2#

Určete podíl polynomů $x^4-x^2+x+1$ a $x^3-x^2+1$ .

A

x^2-1

B

x

C

x-1

D

x+1

E

x^2+1

Odpověď

D.

Nápověda

Polynomy dělíme „pod sebou“ podobně jako čísla: nejvyšší člen dělence vydělíme nejvyšším členem dělitele, výsledek vynásobíme celým dělitelem a odečteme. Rychlá kontrola: stupeň podílu musí být $4-3 = 1$ , což hned vylučuje možnosti A a E.

Postup řešení

Nejvyšší člen dělence vydělíme nejvyšším členem dělitele: $x^4 : x^3 = x$ . To je první člen podílu. Vynásobíme jím dělitele a odečteme:

$\begin{aligned} \left(x^4-x^2+x+1\right) - x\left(x^3-x^2+1\right) & = \left(x^4-x^2+x+1\right) - \left(x^4-x^3+x\right) \\ & = x^3-x^2+1. \end{aligned}$
Zbytek $x^3-x^2+1$ má stále stupeň alespoň $3$ , pokračujeme tedy dál: $x^3 : x^3 = 1$ , druhý člen podílu je $1$ . Vynásobíme a odečteme:

$\left(x^3-x^2+1\right) - 1 \cdot \left(x^3-x^2+1\right) = 0.$

Dělení vyšlo beze zbytku, podílem je polynom $x+1$ . Platí tedy

$x^4-x^2+x+1 = (x+1)\left(x^3-x^2+1\right).$

Poznámka

Všimněte si, že zbytek po prvním kroku vyšel přesně roven děliteli – proto je druhý krok tak krátký. Správnost výsledku ověříme roznásobením: $(x+1)(x^3-x^2+1) = x^4-x^3+x+x^3-x^2+1 = x^4-x^2+x+1$ .

Příklad 2.3#

Určete zbytek při dělení mnohočlenu $x^3+5x^2-x-4$ dvojčlenem $x-1$ .

A

0

B

1

C

2

D

-1

E

-2

Odpověď

B.

Nápověda

Kromě standardního dělení polynomů lze zde použít Hornerovo schéma. Nejrychlejší je ale využít tzv. Bézoutovu větu: zbytek při dělení polynomu $P(x)$ dvojčlenem $x-c$ je roven hodnotě $P(c)$ . Stačí tedy dosadit $x = 1$ .

Postup řešení

Dělíme-li polynom $P(x)$ dvojčlenem $x-c$ , má zbytek stupeň menší než $1$ , je to tedy konstanta $R$ . Platí

$P(x) = (x-c) \, Q(x) + R$

a dosazením $x = c$ dostaneme $P(c) = 0 \cdot Q(c) + R = R$ . Zbytek je proto roven hodnotě polynomu v bodě $c$ (Bézoutova věta).

V našem případě je $c = 1$ , tedy

$R = P(1) = 1^3 + 5 \cdot 1^2 - 1 - 4 = 1+5-1-4 = 1.$

Poznámka

Chceme-li znát i podíl, použijeme Hornerovo schéma. Do prvního řádku zapíšeme koeficienty polynomu. V případě chybějících mocnin nesmíme zapomenout zapsat do tohoto řádku jejich nulové koeficienty. Do levého sloupce zapíšeme číslo $c$ – kořen lineárního výrazu $x-c$ , jímž chceme daný polynom vydělit. Každý další koeficient ve druhém řádku tabulky pak dostaneme tak, že k odpovídajícímu koeficientu shora přičteme $c$ -násobek předchozího výsledku:

	$1$	$5$	$-1$	$-4$
$c=1$	$1$	$6$	$5$	$\boxed{1}$

První tři čísla druhého řádku jsou koeficienty podílu, poslední (orámované) je zbytek. Platí tedy

$x^3+5x^2-x-4 = (x-1)\left(x^2+6x+5\right) + 1.$

Příklad 2.4#

Určete množinu reálných řešení rovnice $x^4-x^3-27x+27 = 0$ .

A

\set{-3, -1}

B

\set{-3, 1}

C

\set{-1, 3}

D

\set{1, 3}

E

\set{1, 27}

Odpověď

D.

Nápověda

Hledání kořenů dosazováním je zde zbytečně zdlouhavé – rychlejší je rozklad. Zkuste členy vhodně seskupit a vytknout (z prvních dvou $x^3$ , ze zbylých dvou $-27$ ) a pak použít vzorec pro rozdíl třetích mocnin $a^3-b^3 = (a-b)\left(a^2+ab+b^2\right)$ .

Postup řešení

Levou stranu rozložíme seskupením členů:

$x^4-x^3-27x+27 = x^3(x-1) - 27(x-1) = (x-1)\left(x^3-27\right).$

Druhou závorku dále rozložíme podle vzorce pro rozdíl třetích mocnin ( $a = x$ , $b = 3$ ):

$x^3-27 = (x-3)\left(x^2+3x+9\right),$

celkem tedy

$x^4-x^3-27x+27 = (x-1)(x-3)\left(x^2+3x+9\right).$

Kvadratický trojčlen z poslední závorky je tzv. neúplný čtverec součtu a má diskriminant $D = 9-36 = -27 < 0$ , je proto v $\R$ ireducibilní, tj. nemá reálné kořeny. Součin je nulový právě tehdy, je-li nulový některý z činitelů, takže množinou reálných řešení je

$\set{1, 3}.$

Příklad 2.5#

Najděte součet kořenů polynomu $x^3+12x^2+44x+48$ .

A

3

B

2

C

-2

D

-6

E

-12

Odpověď

E.

Nápověda

Součet kořenů lze určit i bez jejich hledání: podle Viètových vztahů je pro polynom $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ součet všech tří kořenů roven $-a_2$ . Kdo si chce být jistý, může kořeny navíc najít – celočíselnými kandidáty jsou dělitelé absolutního členu, tj. čísla $48$ .

Postup řešení

Podle Viètových vztahů je součet kořenů polynomu $x^3+a_2x^2+a_1x+a_0$ roven $-a_2$ . V našem případě je $a_2 = 12$ , takže hledaný součet je

$x_1+x_2+x_3 = -12.$

Poznámka

Kořeny lze i najít. Celočíselnými kandidáty jsou dělitelé čísla $48$ ; dosazením zjistíme, že $P(-2) = -8+48-88+48 = 0$ . Vydělením a rozložením zbylého trojčlenu dostaneme

$x^3+12x^2+44x+48 = (x+2)\left(x^2+10x+24\right) = (x+2)(x+4)(x+6),$

takže kořeny jsou $-2$ , $-4$ a $-6$ a jejich součet je opravdu $-12$ .

Příklad 2.6#

Rozložte polynom $2x^7-3x^6-8x^5+6x^4+10x^3+x^2+4x+4$ na součin ireducibilních činitelů v oboru reálných čísel.

A

\left(x-1\right)^2 \left(x+2\right)^3 \left(2x^2-x+1\right)

B

\left(x+1\right)^2 \left(x-2\right)^3 \left(2x^2-x+1\right)

C

\left(x+1\right)^3 \left(x-2\right)^2 \left(2x^2-x+1\right)

D

\left(x+1\right)^3 \left(x-2\right)^2 \left(x-1\right)^2

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

C.

Nápověda

Celočíselné kořeny hledejte mezi děliteli absolutního členu $4$ a postupně jimi dělte (nejlépe Hornerovým schématem z příkladu 2.3) – tak zjistíte i jejich násobnosti. Nabízené možnosti lze rychle prosít i bez počítání: roznásobením vedoucích členů musí vyjít $2x^7$ a roznásobením absolutních členů číslo $4$ .

Postup řešení

Absolutní člen je $4$ , celočíselnými kandidáty na kořen jsou tedy $\pm1$ , $\pm2$ a $\pm4$ . Postupně použijeme Hornerovo schéma; v každém řádku dělíme podíl získaný v řádku předchozím:

	$2$	$-3$	$-8$	$6$	$10$	$1$	$4$	$4$
$-1$	$2$	$-5$	$-3$	$9$	$1$	$0$	$4$	$\boxed{0}$
$-1$	$2$	$-7$	$4$	$5$	$-4$	$4$	$\boxed{0}$
$-1$	$2$	$-9$	$13$	$-8$	$4$	$\boxed{0}$
$2$	$2$	$-5$	$3$	$-2$	$\boxed{0}$
$2$	$2$	$-1$	$1$	$\boxed{0}$

Poslední číslo každého řádku je zbytek; ve všech pěti případech vyšel nulový, takže $-1$ je aspoň trojnásobný a $2$ aspoň dvojnásobný kořen. Dalším dělením bychom už nulový zbytek nedostali (například pro $c = -1$ a poslední podíl $2x^2-x+1$ vyjde $2 \cdot 1 + 1 + 1 = 4 \neq 0$ ), násobnosti jsou tedy přesně $3$ a $2$ .

Posledním podílem je trojčlen $2x^2-x+1$ s diskriminantem $D = 1-8 = -7 < 0$ ; reálné kořeny nemá, a je proto v $\R$ ireducibilní. Celkem

$2x^7-3x^6-8x^5+6x^4+10x^3+x^2+4x+4 = (x+1)^3 (x-2)^2 \left(2x^2-x+1\right).$

Poznámka

Součet násobností je $3+2+2 = 7$ , což souhlasí se stupněm polynomu. Další rychlá kontrola: dosazením $x = 0$ dostaneme na obou stranách číslo $4$ a porovnáním vedoucích členů $2 \cdot x^3 \cdot x^2 \cdot x^2 = 2x^7$ .

Příklad 2.7#

Nalezněte největší řešení rovnice $\left(x^2+3x+1\right)\left(x^2+3x+3\right) + 1 = 0$ .

Odpověď

$-1$ .

Nápověda

V obou závorkách se opakuje týž trojčlen $x^2+3x$ . Zavedením substituce $t := x^2+3x+2$ se rovnice změní na kvadratickou – a dokonce na úplný čtverec.

Postup řešení

Položme $t := x^2+3x+2$ . Pak $x^2+3x+1 = t-1$ , $x^2+3x+3 = t+1$ a levá strana rovnice přejde na tvar

$(t-1)(t+1) + 1 = t^2-1 + 1 = t^2.$

Z takto získané rovnice $t^2 = 0$ pak máme $t = 0$ . Vrátíme se k původní neznámé $x$ :

$x^2+3x+2 = 0 \quad \iff \quad (x+1)(x+2) = 0.$

Řešeními jsou tedy čísla $-1$ a $-2$ ; větší z nich je $-1$ .

Příklad 2.8#

Jaký je součin všech kořenů rovnice $\left(x^2+2x\right)^2 - (x+1)^2 = 55$ ?

Odpověď

$-8$ .

Nápověda

Oba členy lze vyjádřit pomocí téhož výrazu: platí $x^2+2x = (x+1)^2-1$ . Zaveďte proto substituci $t := (x+1)^2$ a nezapomeňte na podmínku $t \geq 0$ , která jeden z kořenů vyloučí.

Postup řešení

Doplněním na čtverec dostaneme $x^2+2x = (x+1)^2 - 1$ . Položíme-li $t := (x+1)^2$ , přejde rovnice na tvar

$\begin{aligned} (t-1)^2 - t & = 55, \\ t^2-3t-54 & = 0. \end{aligned}$

Diskriminant je $D = 9+216 = 225$ , tedy $\sqrt{D} = 15$ a

$t_{1,2} = \frac{3 \pm 15}{2}, \qquad t_1 = 9, \quad t_2 = -6.$

Protože $t = (x+1)^2 \geq 0$ , hodnota $t_2 = -6$ nepřipadá v úvahu. Zbývá

$(x+1)^2 = 9 \quad \iff \quad |x+1| = 3 \quad \iff \quad x = 2 \ \text{ nebo } \ x = -4.$

Součin obou kořenů je $2 \cdot (-4) = -8$ .

Příklad 2.9#

Řešte rovnici $x^4 + (x+4)^4 = 82$ a určete její největší kořen.

Odpověď

$-1$ .

Nápověda

Levá strana je souměrná kolem bodu $x = -2$ (středu mezi $0$ a $-4$ ). Substituce $x := t-2$ proto výraz výrazně zjednoduší: liché mocniny $t$ se odečtou a zbude bikvadratická rovnice.

Postup řešení

Položme $x := t-2$ ; pak $x+4 = t+2$ a rovnice má tvar $(t-2)^4 + (t+2)^4 = 82$ . Roznásobením podle binomické věty se liché mocniny $t$ odečtou:

$(t-2)^4 + (t+2)^4 = 2\left(t^4 + 24t^2 + 16\right).$

Rovnice tedy zní

$\begin{aligned} 2\left(t^4+24t^2+16\right) & = 82, \\ t^4+24t^2-25 & = 0. \end{aligned}$

Levou stranu rozložíme (jde o kvadratickou rovnici pro $t^2$ ):

$t^4+24t^2-25 = \left(t^2+25\right)\left(t^2-1\right) = 0.$

Protože $t^2+25 > 0$ pro každé reálné $t$ , zbývá $t^2 = 1$ , tedy $t = \pm1$ . Návratem k původní neznámé dostáváme

$x_1 = 1-2 = -1, \qquad x_2 = -1-2 = -3.$

Největším kořenem je tedy $x = -1$ .

Příklad 2.10#

Udělejte goniometrickou rozcvičku – zkuste doplnit zpaměti následující výrazy:

$\sin \pi = \quad ?$
$\sin 2\pi = \quad ?$
$\cos \frac{3}{2}\pi = \quad ?$
$\cos 2\pi = \quad ?$

Odpověď

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $1$ .

Nápověda

Hodnoty odečtěte z jednotkové kružnice: úhlu $x$ odpovídá bod o souřadnicích $\left(\cos x, \sin x\right)$ . Kosinus je tedy vodorovná a sinus svislá souřadnice tohoto bodu.

Postup řešení

Úhlu $x$ odpovídá na jednotkové kružnici bod $\left(\cos x, \sin x\right)$ ; stačí tedy určit polohu příslušného bodu:

Úhlu $\pi$ odpovídá bod $(-1, 0)$ , takže $\sin \pi = 0$ .
Úhlu $2\pi$ odpovídá bod $(1, 0)$ (jedna celá otáčka), takže $\sin 2\pi = 0$ .
Úhlu $\frac{3}{2}\pi$ odpovídá bod $(0, -1)$ , takže $\cos \frac{3}{2}\pi = 0$ .
Pro tentýž bod $(1, 0)$ jako v části b) je $\cos 2\pi = 1$ .

Příklad 2.11#

S využitím jednotkové kružnice zjistěte, zda existuje $x \in \R$ , pro něž platí:

$\cos x = 0$ a zároveň $\sin x = -1$ ;
$\cos x = -1$ a zároveň $\sin x = 1$ .

Odpověď

a) ano, například $x = \frac{3}{2}\pi$ ; b) neexistuje.

Nápověda

Dvojice $\left(\cos x, \sin x\right)$ je souřadnicí bodu na jednotkové kružnici, musí tedy splňovat $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ . Podle toho hned poznáte, která dvojice hodnot je vůbec možná.

Postup řešení

Bod $(0, -1)$ na jednotkové kružnici leží, neboť $0^2 + (-1)^2 = 1$ . Je to nejnižší bod kružnice, který odpovídá úhlu $\frac{3}{2}\pi$ (a obecně $\frac{3}{2}\pi + 2k\pi$ , $k \in \Z$ ). Takové $x$ tedy existuje.
Bod $(-1, 1)$ na jednotkové kružnici neleží, neboť

$(-1)^2 + 1^2 = 2 \neq 1.$

Hledané $x$ proto neexistuje.

Poznámka

Rovnost $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ je jen Pythagorova věta pro pravoúhlý trojúhelník s přeponou délky $1$ . Vyplatí se ji používat jako rychlou kontrolu: nikdy nemohou být obě hodnoty současně v absolutní hodnotě velké.

Příklad 2.12#

Vypočítejte:

$2\cos \frac{1}{2}\pi - 5\sin \pi + 6\cos \pi$ ;
$3\cos \frac{1}{4}\pi - 3\sin \frac{1}{4}\pi + 2\cos \frac{1}{3}\pi - \sin \frac{1}{6}\pi$ ;
$2\cos \frac{39}{18}\pi - \frac{1}{2}\sin \left(-7\pi\right) + \sqrt{2}\cos\left(-\frac{9}{4}\pi\right) + 2\sin \frac{35}{6}\pi$ .

Odpověď

a) $-6$ ; b) $\frac{1}{2}$ ; c) $\sqrt{3}$ .

Nápověda

Všechny argumenty nejprve převeďte do základního intervalu $\left\langle0, 2\pi\right)$ . Použijte přitom periodicitu ( $\sin$ i $\cos$ mají hlavní periodu $2\pi$ ) a to, že $\cos$ je funkce sudá a $\sin$ lichá, tedy $\cos(-u) = \cos u$ a $\sin(-u) = -\sin u$ . Pak už jen dosaďte tabulkové hodnoty.

Postup řešení

Přímo dosadíme tabulkové hodnoty $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ , $\sin\pi = 0$ a $\cos\pi = -1$ :

$2 \cdot 0 - 5 \cdot 0 + 6 \cdot (-1) = -6.$
Protože $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , první dva členy se odečtou. Dále $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ a $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , takže

$\underbrace{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}_{{}=0} + 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$
Každý argument převedeme do základního intervalu:

$\begin{aligned} \cos\frac{39}{18}\pi & = \cos\frac{13}{6}\pi = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \\ \sin(-7\pi) & = -\sin 7\pi = 0, \\ \cos\left(-\frac{9}{4}\pi\right) & = \cos\frac{9}{4}\pi = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \\ \sin\frac{35}{6}\pi & = \sin\left(6\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}. \end{aligned}$

Po dosazení dostaneme

$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3} + 1 - 1 = \sqrt{3}.$

Příklad 2.13#

Ve kterých intervalech jsou funkce $y = \sin x$ a $y = \cos x$ zároveň:

rostoucí;
klesající?

Odpověď

a) ve všech intervalech $\left\langle\frac{3}{2}\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi\right\rangle$ , kde $k \in \Z$ ; b) ve všech intervalech $\left\langle\frac{1}{2}\pi + 2k\pi, \pi + 2k\pi\right\rangle$ , kde $k \in \Z$ .

Nápověda

Sledujte pohyb bodu po jednotkové kružnici proti směru hodinových ručiček a všímejte si obou souřadnic zároveň: $\cos x$ je vodorovná, $\sin x$ svislá. Hledáte kvadranty, v nichž obě souřadnice současně rostou (resp. klesají).

Postup řešení

Připomeňme si intervaly monotonie obou funkcí (pro každé $k \in \Z$ ):

$\begin{aligned} y = \sin x \ \text{ roste na } \ & \left\langle-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right\rangle, & \text{klesá na } \ & \left\langle\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3}{2}\pi + 2k\pi\right\rangle, \\ y = \cos x \ \text{ roste na } \ & \left\langle\pi + 2k\pi, 2\pi + 2k\pi\right\rangle, & \text{klesá na } \ & \left\langle2k\pi, \pi + 2k\pi\right\rangle. \end{aligned}$

Interval růstu sinu můžeme posunutím o celou periodu zapsat též jako

$\left\langle\frac{3}{2}\pi + 2k\pi, \ \frac{5}{2}\pi + 2k\pi\right\rangle.$

Jeho průnikem s intervalem růstu kosinu je

$\left\langle\frac{3}{2}\pi + 2k\pi, \ 2\pi + 2k\pi\right\rangle,$

tedy čtvrtý kvadrant. Skutečně: bod se přitom po kružnici pohybuje z $(0,-1)$ do $(1,0)$ , takže obě jeho souřadnice rostou.
Průnikem intervalů klesání je

$\left\langle\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ \pi + 2k\pi\right\rangle,$

tedy druhý kvadrant: bod se pohybuje z $(0,1)$ do $(-1,0)$ a obě souřadnice klesají.

Poznámka

Ke stejnému závěru lze dospět i schematickým zakreslováním grafů funkcí $y = \sin x$ a $y = \cos x$ .

Příklad 2.14#

Určete všechna $x \in \left\langle0, 2\pi\right\rangle$ , pro která platí:

$\sin x = \cos x$ ;
$\sin x = -\cos x$ .

Odpověď

a) $\frac{1}{4}\pi$ , $\frac{5}{4}\pi$ ; b) $\frac{3}{4}\pi$ , $\frac{7}{4}\pi$ .

Nápověda

Rovnici lze vydělit výrazem $\cos x$ – rozmyslete si nejprve, proč v žádném řešení nemůže být $\cos x = 0$ . Dostanete jednoduchou rovnici pro $\tg x$ . Geometricky hledáte průsečíky přímky $y = x$ (resp. $y = -x$ ) s jednotkovou kružnicí.

Postup řešení

Nejprve si všimněme, že $\cos x \neq 0$ pro každé řešení obou rovnic: kdyby totiž $\cos x = 0$ , plynulo by z rovnice i $\sin x = 0$ , a to je spolu nemožné, neboť $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Obě rovnice proto smíme vydělit výrazem $\cos x$ .

Dostaneme $\tg x = 1$ , tedy $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$ , $k \in \Z$ . V intervalu $\left\langle0, 2\pi\right\rangle$ leží

$x_1 = \frac{1}{4}\pi, \qquad x_2 = \frac{5}{4}\pi.$
Dostaneme $\tg x = -1$ , tedy $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$ , $k \in \Z$ . V intervalu $\left\langle0, 2\pi\right\rangle$ leží

$x_1 = \frac{3}{4}\pi, \qquad x_2 = \frac{7}{4}\pi.$

Poznámka

Geometricky jde o body jednotkové kružnice, jejichž souřadnice jsou stejné (a), resp. opačné (b). To jsou právě průsečíky kružnice s osami kvadrantů, tedy body $\left(\pm\frac{\sqrt2}{2}, \pm\frac{\sqrt2}{2}\right)$ . Perioda je zde $\pi$ , nikoli $2\pi$ – protilehlé body osy kvadrantu vyhovují rovněž.

Příklad 2.15#

Zjednodušte výraz $\sin^4{\alpha} + \sin^2{\alpha} \cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}$ .

A

-2\sin^2{\alpha}

B

1

C

2\cos^2{\alpha}

D

2\sin^2{\alpha}

E

0

Odpověď

E.

Nápověda

Ve všech třech členech se vyskytuje $\sin^2\alpha$ – vytkněte jej. V závorce pak zůstane výraz, který upravíte základní goniometrickou identitou $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ .

Postup řešení

Vytkneme $\sin^2\alpha$ a použijeme identitu $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ :

$\sin^4\alpha + \sin^2\alpha \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \sin^2\alpha \underbrace{\left(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha - 1\right)}_{{}=\,1-1\,=\,0} = 0.$

Výraz je tedy roven nule pro každé $\alpha \in \R$ .

Příklad 2.16#

Řešte rovnici $2 \sin{x} = -1$ .

A

x = \left(-1\right)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \ n \in \Z

B

x = \left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}, \ n \in \Z

C

x = -\frac{\pi}{4}+\pi n, \ n \in \Z

D

x = \left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2}, \ n \in \Z

E

x = \left(-1\right)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n, \ n \in \Z

Odpověď

E.

Nápověda

Nejprve rovnici upravte na tvar $\sin x = -\frac12$ . Množina všech řešení rovnice $\sin x = a$ (pro $|a| \leq 1$ ) se v obecném případě zapisuje jako $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$ , $n \in \Z$ (připomeňte si, proč). Pozor: v tomto zápisu je krok $\pi n$ , nikoli $2\pi n$ .

Postup řešení

Rovnici vydělíme dvěma: $\sin x = -\frac{1}{2}$ . Protože $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$ , je množina všech řešení

$x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n = (-1)^{n+1}\frac{\pi}{6} + \pi n, \qquad n \in \Z.$

Poznámka

Zápis pomocí $(-1)^{n+1}$ jen elegantně shrnuje dvě rodiny řešení, které vidíme na jednotkové kružnici: body s $y$ -ovou souřadnicí $-\frac12$ jsou dva, a to

$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \qquad \text{a} \qquad x = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi k = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k, \qquad k \in \Z.$

Dosazením sudého $n = 2k$ dostaneme první rodinu, dosazením lichého $n = 2k+1$ druhou. Zkouškou snadno ověříme, že například pro $n = 1$ vyjde $x = \frac{\pi}{6} + \pi = \frac{7\pi}{6}$ a opravdu $\sin\frac{7\pi}{6} = -\frac12$ .

Příklad 2.17#

Zapište množinu všech $x \in \left\langle-2\pi, 2\pi\right\rangle$ , pro která platí:

$\sin x > 0$ a zároveň $\cos x \leq 0$ ;
$\sin x < 0$ a zároveň $\cos x < 0$ .

Odpověď

a) $\left\langle-\frac{3}{2}\pi, -\pi\right) \cup \left\langle\frac{1}{2}\pi, \pi\right)$ ; b) $\left(-\pi, -\frac{1}{2}\pi\right) \cup \left(\pi, \frac{3}{2}\pi\right)$ .

Nápověda

Podmínky si přeložte do jazyka jednotkové kružnice: $\sin x > 0$ znamená horní polorovinu, $\cos x \leq 0$ levou polorovinu (včetně svislé osy). Hledáte tedy určitý kvadrant – a pak už jen pečlivě rozhodnete o krajních bodech a vyberete ta řešení, která leží v zadaném intervalu.

Postup řešení

Podmínka $\sin x > 0$ vymezuje horní polorovinu (bez vodorovné osy), podmínka $\cos x \leq 0$ levou polorovinu včetně svislé osy. Jde tedy o druhý kvadrant včetně jeho „horního“ krajního bodu $\frac{\pi}{2}$ a bez bodu $\pi$ (kde je $\sin x = 0$ ), tj. o intervaly

$\left\langle\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \ \pi + 2k\pi\right), \qquad k \in \Z.$

V intervalu $\left\langle-2\pi, 2\pi\right\rangle$ z nich leží dva ( $k = 0$ a $k = -1$ ):

$\left\langle-\frac{3}{2}\pi, -\pi\right) \cup \left\langle\frac{1}{2}\pi, \pi\right).$
Zde jde o třetí kvadrant, a to bez obou krajních bodů (v nich by byla jedna ze souřadnic nulová):

$\left(\pi + 2k\pi, \ \frac{3}{2}\pi + 2k\pi\right), \qquad k \in \Z.$

V zadaném intervalu leží

$\left(-\pi, -\frac{1}{2}\pi\right) \cup \left(\pi, \frac{3}{2}\pi\right).$

Příklad 2.18#

Pro uvedené výrazy zjistěte, jestli jde o číslo kladné, záporné nebo rovné nule:

$\cos{\frac{1}{3}\pi} \cdot \cos{\frac{2}{3}\pi} \cdot \cos{\left(-\frac{2}{3}\pi\right)}$ ;
$\sin{\frac{1}{3}\pi} \cdot \cos{\frac{111}{3}\pi} \cdot \cos{\left(-\frac{1}{2}\pi\right)}$ .

Odpověď

a) kladné číslo; b) nula.

Nápověda

Nemusíte nic přesně počítat – u každého činitele stačí určit znaménko, tedy kvadrant, do kterého příslušný úhel padne. A pokud je některý činitel nulový, je nulový celý součin; toho si všimněte hned na začátku.

Postup řešení

Úhel $\frac{\pi}{3}$ leží v prvním kvadrantu, takže $\cos\frac{\pi}{3} > 0$ . Úhel $\frac{2}{3}\pi$ leží ve druhém kvadrantu, takže $\cos\frac{2}{3}\pi < 0$ . Konečně $\cos\left(-\frac{2}{3}\pi\right) = \cos\frac{2}{3}\pi < 0$ , neboť kosinus je sudá funkce.

Součin obsahuje dva záporné činitele, je proto kladný. (Konkrétně $\frac{1}{2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{8}$ .)
Poslední činitel je $\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$ , takže celý součin je roven nule bez ohledu na hodnoty zbývajících činitelů.

Příklad 2.19#

Řešte nerovnici $2\cos{\pi x} > 1$ .

A

x \in \bigcup_{k \in \Z} \left(-\frac{\pi}{3}+2\pi k, \frac{\pi}{3}+2\pi k\right)

B

x \in \bigcup_{k \in \Z} \left(-\frac{1}{8}+2k, \frac{1}{6}+2k\right)

C

x \in \bigcup_{k \in \Z} \left(\frac{1}{3}+2k, \frac{7}{3}+2k\right)

D

x \in \bigcup_{k \in \Z} \left(-\frac{1}{3}+k, \frac{1}{3}+k\right)

E

x \in \bigcup_{k \in \Z} \left(-\frac{1}{3}+2k, \frac{1}{3}+2k\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Nerovnici nejprve upravte na $\cos(\pi x) > \frac12$ a vyřešte ji pro argument $\pi x$ ; teprve nakonec vydělte $\pi$ . Pozor na to, že se tím perioda změní z $2\pi$ na $2$ – to samo o sobě vyloučí možnosti A a D.

Postup řešení

Nerovnici vydělíme dvěma: $\cos(\pi x) > \frac{1}{2}$ . Označme $u := \pi x$ .

Na jednotkové kružnici odpovídá podmínka $\cos u > \frac12$ bodům napravo od svislé přímky $\cos u = \frac12$ ; hraniční úhly jsou $u = \pm\frac{\pi}{3}$ . Platí tedy

$\cos u > \frac{1}{2} \quad \iff \quad u \in \left(-\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \ \frac{\pi}{3} + 2k\pi\right), \qquad k \in \Z.$

Dosadíme $u = \pi x$ a celou nerovnost vydělíme kladným číslem $\pi$ :

$x \in \left(-\frac{1}{3} + 2k, \ \frac{1}{3} + 2k\right), \qquad k \in \Z.$

Poznámka

Perioda funkce $x \mapsto \cos(\pi x)$ je $\frac{2\pi}{\pi} = 2$ , nikoli $2\pi$ ; obecně má funkce $x \mapsto \cos(\omega x)$ periodu $\frac{2\pi}{\left|\omega\right|}$ . Rychlá zkouška: pro $x = 0$ dostaneme $2\cos 0 = 2 > 1$ , a nula do nalezené množiny opravdu patří.

Příklad 2.20#

Zjednodušte výraz $\sin{\left(\pi-2\alpha\right)} + 2 \cos{\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)} \sin{\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}$ .

A

\sin{2\alpha}

B

1

C

3 \cos{2\alpha}

D

3

E

0

Odpověď

E.

Nápověda

Použijte redukční vzorce, které převedou argumenty na samotné $\alpha$ :

$\sin(\pi-u) = \sin u, \qquad \cos\left(\tfrac{3\pi}{2}+u\right) = \sin u, \qquad \sin\left(\tfrac{3\pi}{2}-u\right) = -\cos u.$

Na závěr se bude hodit $\sin 2u = 2\sin u \cos u$ .

Postup řešení

Postupně upravíme jednotlivé členy pomocí redukčních vzorců (odvodit je lze ze součtových vzorců nebo odečíst z jednotkové kružnice):

$\begin{aligned} \sin(\pi-2\alpha) & = \sin 2\alpha, \\ \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) & = \sin\alpha, \\ \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) & = -\cos\alpha. \end{aligned}$

Dosazením a použitím vzorce pro sinus dvojnásobného argumentu dostaneme

$\sin 2\alpha + 2 \sin\alpha \cdot \left(-\cos\alpha\right) = \sin 2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha - \sin 2\alpha = 0.$

Příklad 2.21#

Zjednodušte výraz $\cos^4{\frac{\alpha}{2}} - \sin^4{\frac{\alpha}{2}}$ .

A

\sin{\alpha}

B

\cos{\alpha}

C

\cos{\frac{\alpha}{4}}

D

\cos{2\alpha}

E

1

Odpověď

B.

Nápověda

Rozdíl čtvrtých mocnin je zároveň rozdílem druhých mocnin:

$a^4-b^4 = \left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right).$

Pak už jen použijte $\cos^2 u - \sin^2 u = \cos 2u$ a $\cos^2 u + \sin^2 u = 1$ .

Postup řešení

Označme pro přehlednost $u := \frac{\alpha}{2}$ . Podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin (aplikovaného na $a = \cos^2 u$ , $b = \sin^2 u$ ) platí

$\cos^4 u - \sin^4 u = \left(\cos^2 u - \sin^2 u\right)\left(\cos^2 u + \sin^2 u\right) = \left(\cos^2 u - \sin^2 u\right) \cdot 1 = \cos 2u.$

Protože $2u = \alpha$ , je hledaným výsledkem $\cos\alpha$ .

Příklad 2.22#

Zjednodušte výraz $\dfrac{\cos{\alpha}\cos{\beta} - \cos{\left(\alpha+\beta\right)}}{\cos{\left(\alpha-\beta\right)} - \sin{\alpha}\sin{\beta}}$ .

A

1

B

\tg{\alpha} \tg{\beta}

C

\sin{\alpha} \sin{\beta}

D

\cos{\alpha} \cos{\beta}

E

\cotg{\alpha} \cotg{\beta}

Odpověď

B.

Nápověda

Rozepište $\cos(\alpha+\beta)$ i $\cos(\alpha-\beta)$ pomocí součtových vzorců. V čitateli i ve jmenovateli se pak vždy jeden ze součinů odečte.

Postup řešení

Použijeme součtové vzorce

$\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta.$

Pro čitatel dostáváme

$\cos\alpha\cos\beta - \left(\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta\right) = \sin\alpha\sin\beta$

a pro jmenovatel

$\left(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\right) - \sin\alpha\sin\beta = \cos\alpha\cos\beta.$

Celkem tedy

$\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot \frac{\sin\beta}{\cos\beta} = \tg\alpha \, \tg\beta.$

Poznámka

Výsledek má smysl jen tam, kde je definován původní výraz, tedy pro $\cos\alpha \neq 0$ a $\cos\beta \neq 0$ .

Příklad 2.23#

Zjednodušte výraz $16 \cos{\frac{\pi}{9}} \cos{\frac{2\pi}{9}} \cos{\frac{4\pi}{9}}$ .

A

0{,}5

B

-0{,}5

C

2

D

-2

E

0

Odpověď

C.

Nápověda

Argumenty se postupně zdvojnásobují, což přímo vybízí k použití vzorce $\sin 2u = 2\sin u\cos u$ . Vynásobte a vydělte celý výraz číslem $\sin\frac{\pi}{9}$ (které je nenulové) – součin se pak krok za krokem „sbalí“.

Postup řešení

Protože $\sin\frac{\pi}{9} \neq 0$ , můžeme výraz rozšířit tímto číslem a opakovaně použít vzorec $2\sin u\cos u = \sin 2u$ :

$\begin{aligned} 16\cos\frac{\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9} & = \frac{2\sin\frac{\pi}{9}\cos\frac{\pi}{9} \cdot 8\cos\frac{2\pi}{9} \cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} =\\ & = \frac{2\sin\frac{2\pi}{9} \cos\frac{2\pi}{9} \cdot 4\cos\frac{4\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{4\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9} \cdot 2}{\sin\frac{\pi}{9}} = \frac{2\sin\frac{8\pi}{9}}{\sin\frac{\pi}{9}}. \end{aligned}$

Dále $\sin\frac{8\pi}{9} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{9}\right) = \sin\frac{\pi}{9}$ , takže celý výraz je roven $2$ .

Příklad 2.24#

Zjednodušte výraz $\sin{\frac{3\pi}{14}} - \sin{\frac{\pi}{14}} - \sin{\frac{5\pi}{14}}$ .

A

-\frac{1}{2}

B

1

C

0

D

\frac{1}{2}

E

-1

Odpověď

A.

Nápověda

Všimněte si, že argumenty sinů tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí $\frac{2\pi}{14} = \frac{\pi}{7}$ . Proto je výhodné rozšířit celý výraz kladným číslem $2\sin\frac{\pi}{7}$ a na každý ze tří vzniklých součinů použít vzorec

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2}.$

Většina vzniklých kosinů se odečte. Pomůže i to, že $\cos\frac{\pi}{2} = 0$ .

Postup řešení

Jelikož argumenty sinů tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí $\frac{2\pi}{14} = \frac{\pi}{7}$ , celý výraz rozšíříme kladnou hodnotou $2\sin\frac{\pi}{7}$ a na každý ze tří vzniklých součinů použijeme vzorec

$\sin \alpha \sin \beta = \frac{\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)}{2}.$

Dostaneme

$\begin{aligned} 2\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{3\pi}{14} & = \cos\frac{\pi}{14} - \cos\frac{5\pi}{14}, \\ 2\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{\pi}{14} & = \cos\frac{\pi}{14} - \cos\frac{3\pi}{14}, \\ 2\sin\frac{\pi}{7}\sin\frac{5\pi}{14} & = \cos\frac{3\pi}{14} - \cos\frac{7\pi}{14} = \cos\frac{3\pi}{14}, \end{aligned}$

kde jsme v posledním řádku využili $\cos\frac{7\pi}{14} = \cos\frac{\pi}{2} = 0$ . Odtud

$\begin{aligned} &\frac{2\sin\frac{\pi}{7} \left(\sin{\frac{3\pi}{14}} - \sin{\frac{\pi}{14}} - \sin{\frac{5\pi}{14}}\right)}{2\sin\frac{\pi}{7}} =\\ &= \frac{\left(\cos\frac{\pi}{14} - \cos\frac{5\pi}{14}\right) - \left(\cos\frac{\pi}{14} - \cos\frac{3\pi}{14}\right) - \cos\frac{3\pi}{14}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{\cos\frac{5\pi}{14}}{2\sin\frac{\pi}{7}}. \end{aligned}$

Konečně $\cos\frac{5\pi}{14} = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{14}\right) = \sin\frac{2\pi}{14} = \sin\frac{\pi}{7}$ , takže hledaná hodnota výrazu je

$\frac{-\sin\frac{\pi}{7}}{2\sin\frac{\pi}{7}} = -\frac{1}{2}.$

Příklad 2.25#

Která z následujících funkcí není sudá ani lichá?

A

f\left(x\right) = \cos{3x}\cotg{4x}

B

f\left(x\right) = \dfrac{2+3\sin^2{5x}}{6\tg{x}}

C

f\left(x\right) = 5\sqrt{\cos{x}}+x^4

D

f\left(x\right) = \dfrac{x^2+\sin{2x}}{\sin{2x}-x^3}

E

f\left(x\right) = \sin{6x}\tg{x}+x^2

Odpověď

D.

Nápověda

Vyplatí se pamatovat si pravidla o součinech: součin dvou sudých i součin dvou lichých funkcí je sudý, součin sudé a liché je lichý. Podle nich čtyři z nabízených funkcí zařadíte během chvíle; u zbývající je pak třeba porovnat $f(-x)$ s $f(x)$ i s $-f(x)$ a ukázat, že nenastane ani jedna rovnost.

Postup řešení

Připomeňme, že $\cos$ je sudá, $\sin$ , $\tg$ i $\cotg$ liché funkce a že mocnina $x^k$ je sudá pro sudé $k$ a lichá pro liché $k$ .

$\cos 3x$ je sudá, $\cotg 4x$ lichá, součin je tedy lichá funkce.
Čitatel $2+3\sin^2 5x$ je sudý (druhá mocnina liché funkce je sudá), jmenovatel $6\tg x$ lichý; podíl je proto lichá funkce.
$\cos x$ je sudá, tedy i $5\sqrt{\cos x}$ je sudá; spolu s $x^4$ jde o sudou funkci. (Definiční obor, kde $\cos x \geq 0$ , je souměrný podle nuly.)
Zde platí

$f(-x) = \frac{x^2 - \sin 2x}{-\sin 2x + x^3} = \frac{x^2-\sin 2x}{x^3-\sin 2x}, \qquad -f(x) = \frac{x^2+\sin 2x}{x^3-\sin 2x}.$

Rovnost $f(-x) = -f(x)$ by po porovnání čitatelů znamenala $\sin 2x = 0$ , což neplatí pro všechna $x$ ; funkce tedy není lichá. Rovnost $f(-x) = f(x)$ by po roznásobení dala $-\left(x^2-\sin 2x\right) = x^2 + \sin 2x$ , tj. $x^2 = 0$ , což opět neplatí obecně; funkce není ani sudá.
$\sin 6x$ i $\tg x$ jsou liché, jejich součin je tedy sudý; spolu s $x^2$ jde o sudou funkci.

Hledanou funkcí je proto ta z možnosti D.

Příklad 2.26#

Řešte rovnici $2\cos{2x} = -\sqrt{2}$ .

A

x \in \emptyset

B

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pm\frac{3\pi}{8}+\pi n}

C

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pm\frac{\pi}{8}+\pi n}

D

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pm\frac{3\pi}{4}+2\pi n}

E

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pm\frac{\pi}{4}+\pi n}

Odpověď

B.

Nápověda

Upravte na $\cos 2x = -\frac{\sqrt2}{2}$ a řešte nejprve pro argument $2x$ : rovnice $\cos u = a$ má pro $|a| \leq 1$ řešení $u = \pm\arccos a + 2\pi n$ , $n \in \Z$ . Teprve pak celou rovnost vydělte dvěma – perioda se přitom zkrátí na polovinu.

Postup řešení

Rovnici vydělíme dvěma:

$\cos 2x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Protože $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$ , je

$2x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \qquad n \in \Z.$

Vydělením dvěma dostaneme

$x = \pm\frac{3\pi}{8} + \pi n, \qquad n \in \Z.$

Poznámka

Zkouška pro $n = 0$ : $2\cos\left(2 \cdot \frac{3\pi}{8}\right) = 2\cos\frac{3\pi}{4} = 2 \cdot \left(-\frac{\sqrt2}{2}\right) = -\sqrt2$ . Možnost E je typickou pastí – odpovídá záměně $\arccos\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ za $\frac{\pi}{4}$ , tedy zapomenutí na to, že argument je záporný.

Příklad 2.27#

Najděte kořen rovnice $\sin{2x} - 4\cos{x} = 0$ , který patří do intervalu $\left\langle2\pi, 3\pi\right\rangle$ .

A

x = \frac{7\pi}{3}

B

x = \frac{5\pi}{2}

C

x = \frac{9\pi}{4}

D

x = \frac{13\pi}{6}

E

x = \frac{7\pi}{4}

Odpověď

B.

Nápověda

Použijte $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ a vytkněte $\cos x$ . Vzniklou součinovou rovnici pak řešte tak, že položíte každý činitel roven nule – u jednoho z nich zjistíte, že řešení vůbec nemá.

Postup řešení

Pomocí vzorce $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ upravíme rovnici na součinový tvar:

$2\sin x\cos x - 4\cos x = 0 \quad \iff \quad 2\cos x \left(\sin x - 2\right) = 0.$

Součin je nulový, právě když je nulový některý z činitelů. Rovnice $\sin x = 2$ však řešení nemá, neboť $\left|\sin x\right| \leq 1$ . Zbývá tedy

$\cos x = 0 \quad \iff \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \qquad n \in \Z.$

V intervalu $\left\langle2\pi, 3\pi\right\rangle$ leží z těchto čísel jediné, a to $x = \frac{5\pi}{2}$ (odpovídá $n = 2$ ).

Poznámka

Pozor na časté pokušení rovnici vydělit výrazem $\cos x$ : tím bychom ztratili právě všechna její řešení. Dělit lze jen výrazem, o kterém víme, že je nenulový.

Příklad 2.28#

Řešte rovnici $\cos{\left(\cos{x}\right)} = 1$ .

A

x \in \emptyset

B

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\frac{\pi}{2}+\pi n}

C

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pm\arccos{\left(2\pi n\right)}+2\pi n}

D

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{2\pi n}

E

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pm\pi+2\pi n}

Odpověď

B.

Nápověda

Označte $u := \cos x$ a vyřešte nejprve „vnější“ rovnici $\cos u = 1$ . Pak využijte, že $u$ je hodnota kosinu, takže nutně $u \in \left\langle-1, 1\right\rangle$ – kolik z nalezených hodnot do tohoto intervalu padne?

Postup řešení

Označme $u := \cos x$ . Vnější rovnice $\cos u = 1$ má řešení

$u = 2\pi n, \qquad n \in \Z.$

Číslo $u$ je však hodnotou kosinu, platí tedy $-1 \leq u \leq 1$ . Protože $2\pi \doteq 6{,}28 > 1$ , je jediným vyhovujícím číslem tvaru $2\pi n$ nula (pro $n = 0$ ). Zbývá proto vyřešit

$\cos x = 0 \quad \iff \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \qquad n \in \Z.$

Příklad 2.29#

Řešte rovnici $\left(\cotg{x}\right)^{100} = 1$ .

A

x = -\frac{\pi}{4}+\pi n, \ n \in \Z

B

x = \frac{\pi}{4}+\pi n, \ n \in \Z

C

x = \pm\frac{\pi}{4}+\pi n, \ n \in \Z

D

x \in \emptyset

E

x = \arccotg{100} + \pi n, \ n \in \Z

Odpověď

C.

Nápověda

Vysoký exponent nemusí být překážkou: pro reálné $t$ platí $t^{100} = 1$ právě tehdy, když $t = 1$ nebo $t = -1$ (mocnitel je sudý). Zbývají tedy dvě jednoduché rovnice.

Postup řešení

Označme $t := \cotg x$ . Protože je exponent sudý, platí pro reálná $t$

$t^{100} = 1 \quad \iff \quad \left|t\right| = 1 \quad \iff \quad t = 1 \ \text{ nebo } \ t = -1.$

Zbývá tedy vyřešit dvě rovnice:

$\begin{aligned} \cotg x & = 1 & & \iff & & x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \Z, \\ \cotg x & = -1 & & \iff & & x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \ n \in \Z. \end{aligned}$

Obě rodiny řešení lze shrnout do zápisu

$x = \pm\frac{\pi}{4} + \pi n, \qquad n \in \Z.$

Příklad 2.30#

Určete množinu řešení rovnice $\sqrt{3} \tg{\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} = 1$ .

A

\bigcup_{n \in \Z} \set{\pi n}

B

\bigcup_{n \in \Z} \set{\frac{\pi}{6}+\pi n}

C

\bigcup_{n \in \Z} \set{-\frac{\pi}{3}+\pi n}

D

\bigcup_{n \in \Z} \set{\frac{\pi}{6}+2\pi n}

E

\bigcup_{n \in \Z} \set{\frac{\pi}{4}+\pi n}

Odpověď

A.

Nápověda

Upravte na $\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt3}$ a vyřešte nejprve pro složený argument. Nezapomeňte, že hlavní perioda funkce tangens je $\pi$ , nikoli $2\pi$ – to samo vyloučí možnost D.

Postup řešení

Rovnici vydělíme číslem $\sqrt3$ :

$\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}.$

Protože $\arctg\frac{1}{\sqrt3} = \frac{\pi}{6}$ a hlavní perioda funkce tangens je $\pi$ , dostáváme pro argument

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + \pi n, \qquad n \in \Z,$

odkud

$x = \pi n, \qquad n \in \Z.$

Příklad 2.31#

Řešte rovnici $\left|\cos{x}\right| = \cos{x}+2\sin{x}$ .

A

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{2\pi n}

B

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pi n}

C

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pi n, -\frac{\pi}{4}+2\pi n}

D

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pi n, -\frac{\pi}{4}+\pi n}

E

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{2\pi n, \frac{3\pi}{4}+2\pi n}

Odpověď

E.

Nápověda

Absolutní hodnotu odstraníme rozborem dvou případů podle znaménka $\cos x$ . V každém z nich pak nezapomeňte ověřit, zda nalezená řešení příslušnou podmínku na znaménko $\cos x$ opravdu splňují – právě tady se „ztratí“ polovina kandidátů.

Postup řešení

Případ $\cos x \geq 0$ . Pak $\left|\cos x\right| = \cos x$ a rovnice se zjednoduší na

$\cos x = \cos x + 2\sin x \quad \iff \quad \sin x = 0 \quad \iff \quad x = \pi n, \ n \in \Z.$

Podmínku $\cos x \geq 0$ splňují z těchto čísel jen ta se sudým $n$ , neboť $\cos(\pi n) = (-1)^n$ . Dostáváme tedy $x = 2\pi n$ , $n \in \Z$ .
Případ $\cos x < 0$ . Pak $\left|\cos x\right| = -\cos x$ a rovnice zní

$-\cos x = \cos x + 2\sin x \quad \iff \quad -2\cos x = 2\sin x \quad \iff \quad \tg x = -1,$

kde jsme mohli dělit výrazem $\cos x$ , protože je podle předpokladu nenulový. Odtud $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$ , $n \in \Z$ . Podmínku $\cos x < 0$ splňují jen ta řešení, která leží ve druhém či třetím kvadrantu, tedy

$x = \underbrace{\left(-\frac{\pi}{4} + \pi\right)}_{\text{přechod do 2. kvadrantu}} + 2\pi n = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \qquad n \in \Z.$

Množinou všech řešení je proto

$\bigcup_{n \in \Z} \set{2\pi n, \ \frac{3\pi}{4}+2\pi n}.$

Příklad 2.32#

Řešte rovnici $\sin{x} + \sin{|x|} = 0$ .

A

x \in \bigcup_{n \in \Z} \set{\pi n}

B

x = 0

C

x \in \left(-\infty, 0\right\rangle

D

x \in \left(-\infty, 0\right\rangle \cup \set{\pi n \mid n \in \N}

E

x \in \left(-\infty, 0\right\rangle \cup \set{\frac{\pi}{2}+\pi n \mid n\in\Z}

Odpověď

D.

Nápověda

Absolutní hodnotu odstraňte rozborem případů $x \geq 0$ a $x < 0$ . V jednom z nich se rovnice zredukuje na $2\sin x = 0$ , ve druhém je splněna identicky pro každé $x$ – to bývá překvapení.

Postup řešení

Případ $x \geq 0$ . Pak $|x| = x$ a rovnice zní

$2\sin x = 0 \quad \iff \quad \sin x = 0 \quad \iff \quad x = \pi n.$

Vzhledem k podmínce $x \geq 0$ vyhovují právě čísla $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$
Případ $x < 0$ . Pak $|x| = -x$ a s využitím lichosti sinu dostaneme

$\sin x + \sin(-x) = \sin x - \sin x = 0.$

Rovnice je tedy splněna pro každé záporné $x$ .

Sjednocením obou případů je množinou řešení

$\left(-\infty, 0\right\rangle \cup \set{\pi n \mid n \in \N}$

(číslo $0$ je již obsaženo v prvním intervalu).

Příklad 2.33#

Najděte délku každé z úseček číselné osy, které zobrazují řešení nerovnice $2\sin{x} \leq 1$ .

A

\frac{3\pi}{2}

B

2\pi

C

\frac{4\pi}{3}

D

\frac{8\pi}{3}

E

\frac{2\pi}{3}

Odpověď

C.

Nápověda

Množinou řešení je sjednocení shodných uzavřených intervalů, které se opakují s periodou $2\pi$ . Vydělte nejprve celou nerovnost dvojkou a poté použijte jednotkovou kružnici nebo graf funkce $y = \sin x$ .

Postup řešení

Nerovnici upravíme na $\sin x \leq \frac{1}{2}$ . Tato nerovnost platí pro část jednotkové kružnice, která se nachází bezprostředně na i pod vodorovnou přímkou $\sin x = \frac12$ , tedy právě pro

$x \in \left\langle-\frac{7\pi}{6} + 2k\pi, \ \frac{\pi}{6} + 2k\pi\right\rangle, \qquad k \in \Z.$

Délka každého z těchto intervalů je

$\frac{\pi}{6} - \left(-\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}.$

Příklad 2.34#

Řešte nerovnici $-2\sin{2x} < \sqrt{2}$ .

A

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(-\frac{\pi}{8}+\pi n, \frac{3\pi}{8}+\pi n\right)

B

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(-\frac{\pi}{4}+\pi n, \frac{3\pi}{4}+\pi n\right)

C

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(-\frac{\pi}{4}+2\pi n, \frac{3\pi}{4}+2\pi n\right)

D

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(-\frac{\pi}{8}+2\pi n, \frac{5\pi}{8}+2\pi n\right)

E

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(-\frac{\pi}{8}+\pi n, \frac{5\pi}{8}+\pi n\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Nejprve vydělte číslem $-2$ a nezapomeňte obrátit znaménko nerovnosti; dostanete $\sin 2x > -\frac{\sqrt2}{2}$ . Nerovnost pak vyřešte pro argument $2x$ pomocí jednotkové kružnice a teprve nakonec vydělte dvěma.

Postup řešení

Obě strany vydělíme číslem $-2$ a obrátíme znaménko nerovnosti:

$-2\sin 2x < \sqrt{2} \quad \iff \quad \sin 2x > -\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Označme $u := 2x$ . Rovnost $\sin u = -\frac{\sqrt2}{2}$ nastává v jedné periodě pro $u = -\frac{\pi}{4}$ a $u = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ ; mezi těmito hodnotami je sinus větší. Platí tedy

$\sin u > -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \iff \quad u \in \left(-\frac{\pi}{4} + 2k\pi, \ \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\right), \qquad k \in \Z.$

Dosazením $u = 2x$ a vydělením dvěma dostaneme

$x \in \left(-\frac{\pi}{8} + k\pi, \ \frac{5\pi}{8} + k\pi\right), \qquad k \in \Z.$

Příklad 2.35#

Řešte nerovnici $\sqrt{3} \tg{\left(x+\frac{\pi}{6}\right)} > 1$ .

A

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(\frac{\pi}{4}+\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)

B

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(\frac{\pi}{3}+\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)

C

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(\frac{\pi}{6}+\pi n, \frac{\pi}{2}+\pi n\right)

D

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(-\frac{\pi}{2}+\pi n, \frac{\pi}{6}+\pi n\right)

E

x \in \bigcup_{n \in \Z} \left(\pi n, \frac{\pi}{3}+\pi n\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Navazuje na příklad 2.30. Funkce $\tg$ je rostoucí na každém z intervalů

$\left(-\frac{\pi}{2}+\pi n, \ \frac{\pi}{2}+\pi n\right), \qquad n \in \Z,$

ale ne na celém $\R$ . Nerovnost proto řešte právě na jednom takovém intervalu a výsledek pak posuňte o $\pi n$ .

Postup řešení

Nerovnici vydělíme číslem $\sqrt3$ :

$\tg\left(x+\frac{\pi}{6}\right) > \frac{1}{\sqrt{3}}.$

Označme $u := x + \frac{\pi}{6}$ . Na intervalu $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ je funkce tangens rostoucí a nabývá hodnoty $\frac{1}{\sqrt3}$ v bodě $\frac{\pi}{6}$ ; nerovnost $\tg u > \frac{1}{\sqrt3}$ tam tedy platí právě pro $u \in \left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ . Vzhledem k hlavní periodě $\pi$ dostáváme

$u \in \left(\frac{\pi}{6} + \pi n, \ \frac{\pi}{2} + \pi n\right), \qquad n \in \Z.$

Odečtením $\frac{\pi}{6}$ získáme

$x \in \left(\pi n, \ \frac{\pi}{3} + \pi n\right), \qquad n \in \Z.$

Poznámka

Pravý krajní bod odpovídá bodu, v němž tangens není definován; proto výsledný interval nikdy nepřekročí délku $\frac{\pi}{2}$ . Kdo by nerovnost „vyřešil“ jako $u > \frac{\pi}{6}$ bez ohledu na periodicitu, dostal by nesmyslnou polopřímku.

Příklad 2.36#

Načrtněte graf exponenciální funkce $y = 3^x$ . Pak z něho určete všechna $x \in \R$ , pro která platí:

$3^x = 1$ ;
$3^x < 1$ ;
$3^x > 1$ ;
$3^x > 0$ .

Odpověď

a) $x = 0$ ; b) $x \in \left(-\infty, 0\right)$ ; c) $x \in \left(0, +\infty\right)$ ; d) $x \in \R$ .

Nápověda

Graf prochází bodem $(0,1)$ a celý leží nad osou $x$ . Protože je základ $3 > 1$ , je funkce rostoucí – porovnávat hodnoty s jedničkou tedy znamená porovnávat $x$ s nulou.

Postup řešení

Funkce $y = 3^x$ je definovaná na celém $\R$ , nabývá pouze kladných hodnot (obor hodnot je $\left(0, +\infty\right)$ ), prochází bodem $(0, 1)$ a protože je základ $3>1$ , je rostoucí.

$3^x = 1 = 3^0$ ; z prostoty (funkce je rostoucí, tedy prostá) plyne $x = 0$ .
$3^x < 3^0$ znamená pro rostoucí funkci $x < 0$ , tedy $x \in \left(-\infty, 0\right)$ .
Analogicky $3^x > 3^0$ dává $x > 0$ , tedy $x \in \left(0, +\infty\right)$ .
Hodnoty exponenciální funkce jsou vždy kladné, nerovnost tedy platí pro každé $x \in \R$ .

Příklad 2.37#

Načrtněte graf exponenciální funkce $y = 0{,}3^x$ . Pak z něho určete všechna $x \in \R$ , pro která platí:

$0{,}3^x = 1$ ;
$0{,}3^x < 1$ ;
$0{,}3^x \geq 1$ ;
$0{,}3^x > 0$ .

Odpověď

a) $x = 0$ ; b) $x \in \left(0, +\infty\right)$ ; c) $x \in \left(-\infty, 0\right\rangle$ ; d) $x \in \R$ .

Nápověda

Srovnejte s příkladem 2.36: základ $0{,}3$ je nyní menší než $1$ , takže funkce je klesající. Při přechodu od nerovnosti mezi funkčními hodnotami k nerovnosti mezi exponenty se proto znaménko obrací.

Postup řešení

Funkce $y = 0{,}3^x$ je opět definovaná na celém $\R$ , nabývá jen kladných hodnot a prochází bodem $(0,1)$ . Protože je základ $0 < 0{,}3 < 1$ , je však klesající.

$0{,}3^x = 0{,}3^0$ , tedy $x = 0$ .
$0{,}3^x < 0{,}3^0$ znamená pro klesající funkci $x > 0$ , tedy $x \in \left(0, +\infty\right)$ .
$0{,}3^x \geq 0{,}3^0$ dává $x \leq 0$ , tedy $x \in \left(-\infty, 0\right\rangle$ .
Hodnoty jsou opět vždy kladné, tedy $x \in \R$ .

Příklad 2.38#

Řešte rovnice s neznámou $x \in \R$ :

$10^{x-1} = 1$ ;
$10^x = 0{,}001$ ;
$0{,}01^x = 1000$ ;
$0{,}01^x = \sqrt[3]{10}$ ;
$\sqrt{100^x} = 10^{-1}$ ;
$10^{x-2} = 0{,}1$ .

Odpověď

a) $x = 1$ ; b) $x = -3$ ; c) $x = -1{,}5$ ; d) $x = -\frac{1}{6}$ ; e) $x = -1$ ; f) $x = 1$ .

Nápověda

Obě strany vždy zapište jako mocninu téhož základu, nejlépe desítky: $0{,}001 = 10^{-3}$ , $0{,}01 = 10^{-2}$ , $\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}$ , $\sqrt{100^x} = 10^{x}$ . Protože je exponenciální funkce prostá, stačí pak porovnat exponenty.

Postup řešení

Ve všech případech převedeme obě strany na mocninu základu $10$ a porovnáme exponenty (jelikož exponenciální funkce je prostá).

$10^{x-1} = 10^0 \iff x-1 = 0 \iff x = 1$ .
$10^x = 10^{-3} \iff x = -3$ .
$0{,}01^x = \left(10^{-2}\right)^x = 10^{-2x}$ a $1000 = 10^3$ , tedy $-2x = 3$ a $x = -1{,}5$ .
Podobně $10^{-2x} = 10^{\frac13}$ , tedy $-2x = \frac13$ a $x = -\frac16$ .
$\sqrt{100^x} = \sqrt{10^{2x}} = 10^{x}$ (odmocnina z kladného čísla), tedy $10^x = 10^{-1}$ a $x = -1$ .
$10^{x-2} = 10^{-1} \iff x-2 = -1 \iff x = 1$ .

Příklad 2.39#

Řešte rovnici $3^{x-5} = 9^{-2x}$ .

A

x = \frac{5}{3}

B

x = 1

C

x = \frac{5}{4}

D

x = 0

E

x = -1

Odpověď

B.

Nápověda

Základy $3$ a $9$ nejsou stejné, ale $9 = 3^2$ . Přepište proto pravou stranu jako mocninu trojky a porovnejte exponenty.

Postup řešení

Pravou stranu převedeme na mocninu základu $3$ :

$9^{-2x} = \left(3^2\right)^{-2x} = 3^{-4x}.$

Rovnice tedy zní $3^{x-5} = 3^{-4x}$ a protože je exponenciální funkce prostá, stačí porovnat exponenty:

$\begin{aligned} x-5 & = -4x, \\ 5x & = 5, \\ x & = 1. \end{aligned}$

Příklad 2.40#

Určete počet kořenů rovnice $3^{2x^2}-12\cdot3^{x^2}+27 = 0$ .

A

0

B

1

C

2

D

3

E

4

Odpověď

E.

Nápověda

Zaveďte substituci $t := 3^{x^2}$ a všimněte si, že $3^{2x^2} = t^2$ . Vznikne kvadratická rovnice. Na závěr nezapomeňte, že z každé nalezené hodnoty $t$ je ještě potřeba dopočítat $x$ – a rovnice tvaru $x^2 = c$ má pro $c > 0$ dva kořeny.

Postup řešení

Položme $t := 3^{x^2}$ , pak $3^{2x^2} = \left(3^{x^2}\right)^2 = t^2$ a rovnice přejde na kvadratickou

$t^2 - 12t + 27 = 0.$

Diskriminant je $D = 144 - 108 = 36$ , tedy

$t_{1,2} = \frac{12 \pm 6}{2}, \qquad t_1 = 9, \quad t_2 = 3.$

Vrátíme se k původní neznámé:

$\begin{aligned} 3^{x^2} = 9 = 3^2 & \quad \iff \quad x^2 = 2 \quad \iff \quad x = \pm\sqrt{2}, \\ 3^{x^2} = 3 = 3^1 & \quad \iff \quad x^2 = 1 \quad \iff \quad x = \pm1. \end{aligned}$

Rovnice má tedy celkem $4$ kořeny.

Poznámka

Všimněte si, že $t = 3^{x^2} \geq 3^0 = 1$ ; obě nalezené hodnoty tuto podmínku splňují. Kdyby některý kořen kvadratické rovnice vyšel menší než $1$ , žádné reálné $x$ by mu neodpovídalo.

Příklad 2.41#

Vypočítejte:

$\log_{3}{3}$ ;
$\log_{3}{1}$ ;
$\log_{3}{\frac{1}{\sqrt{3}}}$ ;
$\log_{3}{27}$ ;
$\log_{3}{\frac{1}{9}}$ ;
$\log_{3}{3\sqrt{3}}$ .

Odpověď

a) $1$ ; b) $0$ ; c) $-\frac12$ ; d) $3$ ; e) $-2$ ; f) $\frac32$ .

Nápověda

Vraťte se k definici: $\log_3 t$ je ten exponent, na který musíme umocnit trojku, abychom dostali $t$ . Stačí tedy každý z argumentů logaritmů zapsat jako mocninu trojky (pomohou vztahy $\sqrt{3} = 3^{1/2}$ a $\frac{1}{3^k} = 3^{-k}$ ).

Postup řešení

Podle definice je $\log_3 t$ ten exponent $y$ , pro který $3^y = t$ . Každý argument proto zapíšeme jako mocninu trojky:

$3 = 3^1$ , tedy $\log_3 3 = 1$ .
$1 = 3^0$ , tedy $\log_3 1 = 0$ .
$\frac{1}{\sqrt3} = 3^{-\frac12}$ , tedy $\log_3\frac{1}{\sqrt3} = -\frac12$ .
$27 = 3^3$ , tedy $\log_3 27 = 3$ .
$\frac19 = 3^{-2}$ , tedy $\log_3\frac19 = -2$ .
$3\sqrt3 = 3^1 \cdot 3^{\frac12} = 3^{\frac32}$ , tedy $\log_3 3\sqrt3 = \frac32$ .

Příklad 2.42#

Která z následujících rovností není pravdivá?

A

\log_2{16} = 4

B

\log_2{\frac{1}{16}} = -4

C

\log_{\frac{1}{2}}{\frac{1}{16}} = 4

D

\log_{\frac{1}{2}}{16} = \frac{1}{4}

E

\log_{\frac{1}{2}}{16} = -4

Odpověď

D.

Nápověda

Každou rovnost ověřte přímo z definice, tj. umocněním základu na nabízenou hodnotu logaritmu. Pomůže si uvědomit, že pro základ menší než $1$ je logaritmus čísla většího než $1$ vždy záporný – to okamžitě prozradí, kde je chyba.

Postup řešení

Postupně ověříme jednotlivé rovnosti:

$2^4 = 16$ , rovnost platí.
$2^{-4} = \frac{1}{16}$ , rovnost platí.
$\left(\frac12\right)^4 = \frac{1}{16}$ , rovnost platí.
$\left(\frac12\right)^{\frac14} = \frac{1}{\sqrt[4]{2}} \neq 16$ , rovnost neplatí.
$\left(\frac12\right)^{-4} = 2^4 = 16$ , rovnost platí.

Nepravdivá je tedy rovnost z možnosti D.

Poznámka

Chybu lze odhalit i bez počítání: základ $\frac12$ je menší než $1$ , takže funkce $\log_{\frac12}$ je klesající a záporných hodnot nabývá právě pro argumenty větší než $1$ . Hodnota $\log_{\frac12}16$ tedy musí být záporná, a proto rozhodně není rovna $\frac14$ .

Příklad 2.43#

Vypočítejte $5^{\log_5{7}}+\log_{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}}+\log_7{1}$ .

A

6

B

7

C

8

D

7\frac{1}{3}

E

12\frac{1}{3}

Odpověď

C.

Nápověda

Použijte tři základní vlastnosti, které plynou přímo z definice logaritmu:

$a^{\log_a b} = b, \qquad \log_a a = 1, \qquad \log_a 1 = 0.$

Postup řešení

Každý ze tří členů určíme přímo z vlastností logaritmu:

$\begin{aligned} 5^{\log_5 7} & = 7 & & \text{(logaritmus je inverzní funkcí k funkci mocninné o témže základu)}, \\ \log_{\frac13}\frac13 & = 1 & & \text{(hledáme exponent, pro který } \left(\tfrac13\right)^y = \tfrac13\text{)}, \\ \log_7 1 & = 0 & & \text{(neboť } 7^0 = 1\text{)}. \end{aligned}$

Celkem tedy $7 + 1 + 0 = 8$ .

Příklad 2.44#

Vypočítejte $\log_5{49}+2\log_5{\frac{5}{7}}$ .

A

2

B

1

C

0

D

4

E

25

Odpověď

A.

Nápověda

$49 = 7^2$ , proto lze na první logaritmus použít vlastnost $\log_a b^k = k\log_a b$ . Pak vytkněte dvojku před závorku a logaritmy sečtěte podle vzorce $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$ . Sedmičky se přitom vykrátí.

Postup řešení

Nejprve použijeme vztah $\log_a b^k = k\log_a b$ :

$\log_5 {49} = \log_5 {7^2} = 2\log_5 7.$

Součet logaritmů o stejném základu je logaritmem součinu:

$2\log_5 7 + 2\log_5\frac{5}{7} = 2\left(\log_5 7 + \log_5\frac{5}{7}\right) = 2\log_5\left(\cancel{7} \cdot \frac{5}{\cancel{7}}\right) = 2\log_5 5 = 2.$

Příklad 2.45#

Řešte rovnici $\log_\frac{1}{2}{x} = -4$ .

A

\emptyset

B

x = -16

C

x = \frac{1}{16}

D

x \in \set{\frac{1}{16}, 16}

E

x = 16

Odpověď

E.

Nápověda

Rovnici přepište podle definice logaritmu do tvaru $\left(\frac12\right)^{-4} = x$ . Pozor na znaménko exponentu – záporný exponent u základu menšího než $1$ dává číslo větší než $1$ .

Postup řešení

Podle definice logaritmu je rovnice ekvivalentní zápisu

$x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-4} = 2^4 = 16.$

Poznámka

Argument logaritmu musí být vždy kladný, takže možnost B ( $x = -16$ ) lze vyloučit okamžitě, bez jakéhokoli počítání.

Příklad 2.46#

Řešte nerovnici $\left(\frac{1}{3}\right)^x > \frac{1}{3}$ .

A

x \in \left(1, +\infty\right)

B

x \in \left(\frac{1}{3}, +\infty\right)

C

x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)

D

x \in \left(-\infty, 0\right)

E

x \in \left(-\infty, 1\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Obě strany zapište jako mocninu téhož základu $\frac13$ . Ten je menší než $1$ , funkce je tedy klesající – při přechodu k nerovnosti mezi exponenty se proto obrací znaménko.

Postup řešení

Pravou stranu zapíšeme jako mocninu téhož základu: $\frac13 = \left(\frac13\right)^1$ . Nerovnice tedy zní

$\left(\frac{1}{3}\right)^x > \left(\frac{1}{3}\right)^1.$

Základ $\frac13$ je menší než $1$ , příslušná exponenciální funkce je proto klesající a při porovnání exponentů se znaménko nerovnosti obrací:

$x < 1.$

Množinou řešení je interval $\left(-\infty, 1\right)$ .

Příklad 2.47#

Řešte nerovnici $\log_8{\left(3x-10\right)} < \frac{1}{3}$ .

A

x \in \left(0, 3\frac{1}{3}\right)

B

x \in \left(-\infty, 3\frac{1}{3}\right)

C

x \in \left(4, +\infty\right)

D

x \in \left(-\infty, 4\right)

E

x \in \left(3\frac{1}{3}, 4\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Nejprve zapište podmínku pro argument logaritmu: musí být kladný. Teprve pak nerovnici „odlogaritmujte“ – základ $8$ je větší než $1$ , takže znaménko zůstává. Hodí se pamatovat si, že $8^{1/3} = 2$ .

Postup řešení

Pravou stranu zapíšeme jako logaritmus: $\frac13 = \frac13\log_8 8 = \log_8 8^{\frac13} = \log_8 2$ . Základ $8$ je větší než $1$ , funkce $\log_8$ je tedy rostoucí a znaménko nerovnosti se zachovává. Nesmíme však zapomenout, že argument logaritmu musí být za každých okolností kladný:

$\log_8(3x-10) < \log_8 2 \ \iff \ 0 < 3x-10 < 2 \ \iff \ 10 < 3x < 12 \ \iff \ \frac{10}{3} < x < 4.$

Tedy

$x \in \left(3\frac{1}{3}, \ 4\right).$

Poznámka

Možnost D je klasickou pastí – vznikne, pokud se zapomene na podmínku pro argument logaritmu. Vyplatí se ji zapsat ještě předtím, než začneme nerovnici upravovat.

Poznámka

Standardní exponenciální a logaritmické nerovnice lze řešit i „automatičtějším“ způsobem, bez předběžné úpravy pravé strany – totiž přímým odlogaritmováním podle pravidla

$\log_a t < u \quad \iff \quad 0 < t < a^u \qquad \text{pro } a > 1.$

Jen je třeba vždy kontrolovat základ („otočí se znaménko nerovnosti?“) a nezapomínat na kladnost argumentu logaritmu – právě na těchto dvou věcech se chybuje nejčastěji.

Příklad 2.48#

Řešte rovnici ${0{,}2}^{3x-1} = \sqrt{125}$ .

A

x = 5

B

x = 3

C

x = 1

D

x = -\frac{1}{6}

E

x = 0{,}4

Odpověď

D.

Nápověda

Obě strany zapište jako mocninu pětky: $0{,}2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ a $\sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}$ .

Postup řešení

Obě strany převedeme na mocninu základu $5$ :

$0{,}2^{3x-1} = \left(5^{-1}\right)^{3x-1} = 5^{1-3x}, \qquad \sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}.$

Porovnáním exponentů dostaneme

$\begin{aligned} 1-3x & = \frac{3}{2}, \\ -3x & = \frac{1}{2}, \\ x & = -\frac{1}{6}. \end{aligned}$

Příklad 2.49#

Řešte rovnice $5^\frac{x-2}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)} = 1$ i $\left(\frac{2}{3}\right)^{\left(x^2-4\right)\left(x-1\right)} = 1$ a zapište množinu jejich společných řešení.

A

\set{-2, 2, 1}

B

\set{2, 1}

C

\set{-2, 1}

D

\set{-2, 2}

E

\set{2}

Odpověď

E.

Nápověda

Mocnina $a^u$ s pevným základem $a > 0$ , $a \neq 1$ , je rovna jedné právě tehdy, když $u = 0$ . Obě rovnice se tak redukují na podmínku „exponent je nulový“. U první z nich ovšem nezapomeňte na definiční obor – jmenovatel ve zlomku nesmí být nulový.

Postup řešení

Pro základ $a > 0$ , $a \neq 1$ , platí $a^u = 1 \iff u = 0$ . Obě rovnice proto řešíme jako podmínku na nulovost exponentu.

$\frac{x-2}{(x+2)(x-1)} = 0 \quad \iff \quad \begin{cases} x-2 = 0,\\ x+2 \neq 0,\\ x-1 \neq 0 \end{cases} \quad \iff \quad x = 2.$

Množinou řešení první rovnice je tedy $K_1 = \set{2}$ .

$\left(x^2-4\right)(x-1) = 0 \quad \iff \quad (x-2)(x+2)(x-1) = 0 \quad \iff \quad x \in \set{-2, 2, 1}.$

Tedy pro druhou rovnici $K_2 = \set{-2, 2, 1}$ .

Množinou společných kořenů je průnik

$K_1 \cap K_2 = \set{2}.$

Poznámka

Čísla $-2$ a $1$ vyhovují druhé rovnici, ale v první rovnici není příslušný výraz vůbec definován – proto do průniku patřit nemohou.

Příklad 2.50#

Určete množinu řešení rovnice $\left(x^2+x+1\right)^{x-3} = 1$ .

A

\set{3}

B

\set{-1, 0}

C

\set{-1, 0, 3}

D

\set{2}

E

\set{-2}

Odpověď

C.

Nápověda

Zde se mění základ i exponent, nelze tedy použít prosté porovnání exponentů. Mocnina $z^u$ je rovna jedné ve třech situacích: když je $u = 0$ (a základ nenulový), když je $z = 1$ , a případně když je $z = -1$ a $u$ je sudé celé číslo. Prověřte všechny tři. Jiný způsob řešení spočívá ve zlogaritmování obou částí rovnice.

Postup řešení

Protože se mění základ i exponent, rozebereme všechny možnosti, kdy může být mocnina rovna jedné.

Nulový exponent. $x-3 = 0$ , tedy $x = 3$ . Základ je pak $9+3+1 = 13 \neq 0$ , takže $13^0 = 1$ a číslo $3$ je řešením.
Základ roven jedné. $x^2+x+1 = 1$ , tedy $x^2+x = x(x+1) = 0$ , odkud $x = 0$ nebo $x = -1$ . V obou případech je $1^u = 1$ , obě čísla jsou tedy řešením.
Základ roven $-1$ a sudý celočíselný exponent. Rovnice $x^2+x+1 = -1$ , tj. $x^2+x+2 = 0$ , má diskriminant $D = 1-8 = -7 < 0$ , reálné řešení tedy nemá.

Množinou řešení je proto $\set{-1, 0, 3}$ .

Jiný postup: U této úlohy se vyplatí ještě jeden typický způsob řešení podobných úloh – pomocí logaritmování. Základ mocniny je vždy kladný, neboť jde o tzv. neúplný čtverec součtu:

$x^2+x+1 = \left(x+\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0.$

Obě strany rovnice jsou tedy kladné a můžeme je zlogaritmovat (základ logaritmu je přitom v podstatě libovolný):

$\left(x^2+x+1\right)^{x-3} = 1 \quad \iff \quad \ln \left(x^2+x+1\right)^{x-3} = \ln 1 = 0.$

Podle vlastnosti $\ln a^b = b \ln a$ tak dostáváme součinový tvar

$(x-3) \cdot \ln \left(x^2+x+1\right) = 0,$

který je splněn právě tehdy, je-li nulový některý z činitelů. První možnost dává

$x-3 = 0 \quad \iff \quad x = 3;$

argument logaritmu je pro toto $x$ rovný $3^2+3+1 = 13 > 0$ , takže $x_1 = 3$ opravdu je řešením. Druhá možnost dává

$\ln \left(x^2+x+1\right) = 0 \quad \iff \quad x^2+x+1 = 1 \quad \iff \quad x(x+1) = 0,$

odkud $x_2 = -1$ a $x_3 = 0$ .

Celkově pak množinou řešení je $\set{-1, 0, 3}$ .

Poznámka

Trojčlen $x^2+x+1$ má záporný diskriminant a kladný vedoucí koeficient, je tedy pro každé reálné $x$ kladný – základ je proto vždy přípustný a mocnina má vždy smysl.

Příklad 2.51#

Řešte rovnice $6^{x+1} = 3^{x+1}$ i $2^{x-5} = 8^{x-5}$ a určete součet jejich kořenů.

A

4

B

-4

C

5

D

-5

E

53

Odpověď

A.

Nápověda

Obě rovnice mají stejný tvar $a^u = b^u$ s různými základy. Vydělte je proto stranou po straně: dostanete $\left(\frac{a}{b}\right)^u = 1$ , což už umíte snadno vyřešit.

Postup řešení

U první rovnice vydělíme obě strany kladným výrazem $3^{x+1}$ :

$\left(\frac{6}{3}\right)^{x+1} = 1 \quad \iff \quad 2^{x+1} = 1 \quad \iff \quad x+1 = 0 \quad \iff \quad x = -1.$

Ve druhé rovnici obdobně vydělíme obě strany kladným výrazem $8^{x-5}$ :

$\left(\frac{2}{8}\right)^{x-5} = 1 \quad \iff \quad \left(\frac{1}{4}\right)^{x-5} = 1 \quad \iff \quad x-5 = 0 \quad \iff \quad x = 5.$

Součet kořenů je $-1 + 5 = 4$ .

Příklad 2.52#

Řešte rovnice $2^x\cdot3^{x-1} = 72$ i $\sqrt{2^x}\cdot\sqrt{7^x}=196$ a určete součet jejich kořenů.

A

8

B

7

C

6

D

5

E

4

Odpověď

B.

Nápověda

V obou rovnicích mají mocniny (až na konstantu) stejný exponent – lze je proto spojit podle vztahu $a^u b^u = (ab)^u$ . V první rovnici nejprve osamostatněte $3^x$ : $3^{x-1} = \frac{3^x}{3}$ . Napravo pak stačí rozpoznat mocninu vzniklého základu: $216 = 6^3$ a $196 = 14^2$ .

Postup řešení

V první rovnici vytkneme $\frac13$ z druhého činitele a mocniny spojíme podle vlastnosti $a^u b^u = (ab)^u$ :

$\begin{aligned} 2^x \cdot 3^{x-1} &= 72,\\ 2^x \cdot \frac{3^x}{3} &= 72,\\ 6^x &= 216,\\ x &= 3. \end{aligned}$

Ve druhé rovnici spojíme odmocniny do jedné:

$\begin{aligned} \sqrt{2^x} \cdot \sqrt{7^x} &= 196,\\ \sqrt{2^x \cdot 7^x} &= 196,\\ 14^{\frac{x}{2}} &= 14^2,\\ x &= 4. \end{aligned}$

Součet kořenů je $3 + 4 = 7$ .

Příklad 2.53#

Řešte rovnici $4^{x+2}-4^{x+1}+4^x = 39$ .

A

x = \sqrt[4]{3}

B

x = \sqrt[3]{4}

C

x = \log_3{4}

D

x = \log_4{3}

E

\emptyset

Odpověď

D.

Nápověda

Všechny tři členy jsou násobky téhož výrazu $4^x$ , neboť $4^{x+2} = 16 \cdot 4^x$ a $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$ . Vytkněte jej.

Postup řešení

Podle vztahu $a^{u+v} = a^u a^v$ platí $4^{x+2} = 16 \cdot 4^x$ a $4^{x+1} = 4 \cdot 4^x$ . Vytknutím $4^x$ dostaneme

$\begin{aligned} 4^x \left(16 - 4 + 1\right) & = 39, \\ 13 \cdot 4^x & = 39, \\ 4^x & = 3. \end{aligned}$

Podle definice logaritmu je tedy $x = \log_4 3$ .

Příklad 2.54#

Rozhodněte, které tvrzení o řešeních rovnice $9^{x-\frac{1}{2}}+9^{\frac{1}{2}-x} = \frac{10}{3}$ je pravdivé.

ASoučet všech řešení je

-1

.

BRovnice nemá řešení.

CRovnice má dvě nezáporná řešení.

DSoučin všech řešení je

9

.

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

C.

Nápověda

Exponenty jsou navzájem opačné, takže druhá mocnina je převrácenou hodnotou první. Substituce $t := 9^{x-\frac12} > 0$ rovnici převede na tvar $t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$ .

Postup řešení

Protože $9^{\frac12-x} = 9^{-\left(x-\frac12\right)} = \frac{1}{9^{x-\frac12}}$ , položíme $t := 9^{x-\frac12} > 0$ . Rovnice pak zní

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}.$

Vynásobením kladným číslem $3t$ dostaneme kvadratickou rovnici

$3t^2 - 10t + 3 = 0,$

jejíž diskriminant je $D = 100-36 = 64$ , takže

$t_{1,2} = \frac{10 \pm 8}{6}, \qquad t_1 = 3, \quad t_2 = \frac{1}{3}.$

Vrátíme se k původní neznámé; přitom $9^{x-\frac12} = 3^{2x-1}$ :

$\begin{aligned} 3^{2x-1} = 3 = 3^1 & \quad \iff \quad 2x-1 = 1 \quad \iff \quad x = 1, \\ 3^{2x-1} = \frac{1}{3} = 3^{-1} & \quad \iff \quad 2x-1 = -1 \quad \iff \quad x = 0. \end{aligned}$

Rovnice má tedy dvě řešení, $0$ a $1$ , a obě jsou nezáporná.

Poznámka

Zbylá tvrzení ověříme snadno: součet řešení je $1$ (nikoli $-1$ ) a jejich součin je $0$ (nikoli $9$ ).

Příklad 2.55#

Vypočítejte $8^{\log_2{3}}+9^{\log_3{4}}$ .

A

33

B

7

C

14

D

43

E

60

Odpověď

D.

Nápověda

Základy mocnin převeďte na základy logaritmů: $8 = 2^3$ a $9 = 3^2$ . Pak použijte $\left(a^k\right)^{\log_a b} = \left(a^{\log_a b}\right)^k = b^k$ .

Postup řešení

Oba členy upravíme tak, aby základ mocniny odpovídal základu logaritmu:

$\begin{aligned} 8^{\log_2 3} & = \left(2^3\right)^{\log_2 3} = \left(2^{\log_2 3}\right)^3 = 3^3 = 27, \\ 9^{\log_3 4} & = \left(3^2\right)^{\log_3 4} = \left(3^{\log_3 4}\right)^2 = 4^2 = 16. \end{aligned}$

Součet je tedy $27 + 16 = 43$ .

Příklad 2.56#

Zjednodušte výraz $\log{\tg{1^{\circ}}} + \log{\tg{2^{\circ}}} + \log{\tg{3^{\circ}}} + \dots + \log{\tg{88^{\circ}}} + \log{\tg{89^{\circ}}}$ .

A

89!

B

0{,}1

C

10

D

1

E

0

Odpověď

E.

Nápověda

Součet logaritmů je logaritmem součinu. V součinu pak sdružte členy do dvojic tak, aby se úhly doplňovaly do $90^\circ$ , a využijte goniometrické identity $\tg\left(90^\circ - \alpha\right) = \cotg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha}$ . Prostřední člen zůstane osamocený – který to je?

Postup řešení

Součet logaritmů o stejném základu je logaritmem součinu, takže hledaná hodnota je

$\log\left(\tg 1^\circ \cdot \tg 2^\circ \cdot \ldots \cdot \tg 89^\circ\right).$

V součinu sdružíme členy do dvojic, jejichž úhly se doplňují do $90^\circ$ . Protože

$\tg\left(90^\circ - \alpha\right) = \cotg\alpha = \frac{1}{\tg\alpha},$

je součin každé takové dvojice roven jedné:

$\tg 1^\circ \cdot \tg 89^\circ = 1, \quad \tg 2^\circ \cdot \tg 88^\circ = 1, \quad \dots, \quad \tg 44^\circ \cdot \tg 46^\circ = 1.$

Osamocen zůstane prostřední člen $\tg 45^\circ = 1$ . Celý součin je tedy roven $1$ a hledaná hodnota je

$\log 1 = 0.$

Příklad 2.57#

Vypočítejte $7^{\log_2{3}}-3^{\log_2{7}}$ .

A

0

B

\frac{7}{3}

C

1

D

-1

E

2

Odpověď

A.

Nápověda

Oba členy vypadají podezřele podobně. Zkuste zlogaritmovat každý z nich (třeba při základu $2$ ) a porovnat výsledky – zjistíte, že jsou stejné. Jiným způsobem lze postupovat pomocí vzorce pro přechod na nový základ logaritmu $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ a vlastnosti $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ .

Postup řešení

Ukážeme, že oba členy jsou si rovny. Zlogaritmujeme je při základu $2$ a použijeme vztah $\log_a b^k = k \log_a b$ :

$\begin{aligned} \log_2 \left(7^{\log_2 3}\right) & = \log_2 3 \cdot \log_2 7, \\ \log_2 \left(3^{\log_2 7}\right) & = \log_2 7 \cdot \log_2 3. \end{aligned}$

Výsledky jsou stejné, a protože je funkce $\log_2$ prostá, platí $7^{\log_2 3} = 3^{\log_2 7}$ . Rozdíl obou čísel je tedy

$7^{\log_2 3} - 3^{\log_2 7} = 0.$

Jiný postup: Použijeme vzorec pro převod logaritmu na nový základ $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ a vlastnost $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ :

$7^{\log_2{3}} = 7^{\frac{\log_7{3}}{\log_7{2}}} = \left(7^{\log_7{3}}\right)^{\frac{1}{\log_7{2}}} = 3^{\log_2{7}},$

tedy

$7^{\log_2{3}}-3^{\log_2{7}} = 3^{\log_2{7}}-3^{\log_2{7}} = 0.$

Poznámka

Stejnými postupy lze dokázat obecnou identitu $a^{\log_c b} = b^{\log_c a}$ , která platí pro všechny přípustné hodnoty $a, b, c$ . Vyplatí se ji znát – v úlohách tohoto typu se objevuje často.

Příklad 2.58#

Vypočítejte $\log_5{7} \cdot \log_{49}{125}$ .

A

\frac{1}{6}

B

1

C

6

D

\frac{2}{3}

E

1{,}5

Odpověď

E.

Nápověda

Protože $49 = 7^2$ , $125 = 5^3$ , zkuste aplikovat na druhý logaritmus vzorce $\log_a {b^k} = k\log_a b$ a $\log_{a^\ell} b = \frac{1}{\ell}\log_a b$ . Pak pomůže „otočení“ logaritmu $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ .

Postup řešení

Z vlastností logaritmu $\log_a {b^k} = k\log_a b$ a $\log_{a^\ell} b = \frac{1}{\ell}\log_a b$ máme

$\log_{49}{125} = \log_{7^2}{5^3} = \frac{3}{2}\log_7 5.$

Poté díky vzorci $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$ :

$\log_5{7} \cdot \log_{49}{125} = \cancel{\log_5{7}} \cdot \frac{3}{2\cancel{\log_5 7}} = \frac{3}{2} = 1{,}5.$

Příklad 2.59#

Vypočítejte $\log_n{\log_n{\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{\ldots\sqrt[n]{n}}}}_{2026}}}$ .

A

2026

B

-2026

C

1013

D

-1013

E

1

Odpověď

B.

Nápověda

Každá $n$ -tá odmocnina znamená umocnění na $\frac1n$ . Postupným aplikováním $2026$ odmocnin proto dostaneme $n$ umocněné na $\left(\frac1n\right)^{2026}$ . Pak už jen dvakrát zlogaritmujeme.

Postup řešení

Vnitřní výraz upravíme. Jedna $n$ -tá odmocnina znamená umocnění na $\frac{1}{n}$ , po $2026$ odmocninách tedy dostaneme

$\underbrace{\sqrt[n]{\sqrt[n]{\ldots\sqrt[n]{n}}}}_{2026} = n^{\left(\frac{1}{n}\right)^{2026}} = n^{n^{-2026}}.$

První logaritmus „sundá“ vnější mocninu:

$\log_n\left(n^{n^{-2026}}\right) = n^{-2026}.$

Druhý logaritmus pak dává

$\log_n\left(n^{-2026}\right) = -2026.$

Příklad 2.60#

Řešte rovnici $\log{\left(x^2-x\right)} = 1-\log{5}$ .

A

\emptyset

B

x \in \set{-3, 2}

C

x \in \set{-2, 1}

D

x \in \set{-2, 3}

E

x \in \set{-1, 2}

Odpověď

E.

Nápověda

Pravou stranu převeďte na jediný logaritmus: $1 = \log 10$ , takže $1 - \log 5 = \log\frac{10}{5} = \log 2$ . Nezapomeňte také na podmínku $x^2-x > 0$ .

Postup řešení

Pravou stranu upravíme na jediný logaritmus (uvažujeme dekadický logaritmus, tedy $1 = \log 10$ ):

$1 - \log 5 = \log 10 - \log 5 = \log\frac{10}{5} = \log 2.$

Rovnice tedy zní $\log(x^2-x) = \log 2$ a z prostoty logaritmu plyne

$x^2-x = 2 \quad \iff \quad x^2-x-2 = 0 \quad \iff \quad (x-2)(x+1) = 0.$

Řešení jsou tedy čísla $2$ a $-1$ .

Poznámka

Kontrolovat podmínku kladnosti argumentu logaritmu v tomto případě není nutné, jelikož byly všechny naše úpravy ekvivalentní: z rovnosti $x^2-x = 2$ totiž kladnost argumentu plyne automaticky. Ověření definičního oboru hned na začátku je ale velmi dobrý zvyk.

Příklad 2.61#

Řešte rovnici $\log_a{\log_b{\log_c{x}}} = 0$ .

A

x = c^b

B

x = a^{bc}

C

x = b^c

D

x = a^c

E

x = abc

Odpověď

A.

Nápověda

Rovnici „rozbalujte“ zvenku dovnitř. Z $\log_a u = 0$ plyne $u = 1$ (bez ohledu na základ $a$ ); pokračujte stejným způsobem o úroveň níž.

Postup řešení

Postupujeme od vnějšího logaritmu dovnitř. Pro libovolný přípustný základ $a$ platí $\log_a u = 0 \iff u = 1$ , tedy

$\log_b \log_c x = 1.$

Odtud podle definice logaritmu

$\log_c x = b^1 = b$

a v posledním kroku

$x = c^b.$

Poznámka

Mlčky přitom předpokládáme, že všechny základy jsou přípustné, tj. kladné a různé od $1$ , a že argumenty vycházejí kladné (například je potřeba $b > 0$ , aby mělo smysl $\log_c x = b$ ).

Příklad 2.62#

Řešte rovnici $5^{2^x}=7$ .

A

x = \log_5{\log_2{7}}

B

x = \log_2{\log_5{7}}

C

x = \log_7{\log_5{2}}

D

x = \log_7{\log_2{5}}

E

x = \log_2{\log_7{5}}

Odpověď

B.

Nápověda

Logaritmujte postupně, zvenku dovnitř. Nejprve při základu $5$ – tím se zbavíte vnější mocniny a zůstane $2^x = \log_5 7$ ; pak logaritmujte při základu $2$ .

Postup řešení

Rovnici zlogaritmujeme při základu $5$ . Podle definice logaritmu:

$2^x = \log_5 7.$

Pravá strana je kladná (neboť $7 > 1$ ), takže můžeme logaritmovat znovu, tentokrát při základu $2$ :

$x = \log_2\left(\log_5 7\right).$

Poznámka

Pořadí základů je zásadní: vnější mocnina má základ $5$ , takže první logaritmus musí být při základu $5$ . Zaměnit pořadí (možnost A) je častá chyba.

Příklad 2.63#

Rozhodněte, které tvrzení o řešeních rovnice $\dfrac{\log_3{(6x-2)}}{\log_3{\left(x-3\right)}} = 2$ je pravdivé.

ASoučet všech řešení je

12

.

BRovnice má dvě řešení a jejich součin je

10

.

CRovnice má jedno řešení.

DRovnice nemá řešení.

EŽádná z ostatních možností není správná.

Odpověď

C.

Nápověda

Podmínky jsou zde klíčové: oba argumenty musí být kladné a jmenovatel navíc nenulový, tedy $x - 3 \neq 1$ . Teprve pak rovnici vynásobte jmenovatelem a použijte $2\log_3 u = \log_3 u^2$ .

Postup řešení

Podmínky. Argumenty obou logaritmů musí být kladné a jmenovatel nenulový:

$6x-2 > 0, \qquad x-3 > 0, \qquad \log_3(x-3) \neq 0.$

Odtud $x > 3$ (což už zahrnuje $x > \frac13$ ) a $x - 3 \neq 1$ , tj. $x \neq 4$ .

Řešení. Rovnici vynásobíme jmenovatelem a použijeme $2\log_3 u = \log_3 u^2$ :

$\begin{aligned} \log_3(6x-2) &= 2\log_3(x-3),\\ \log_3(6x-2) &= \log_3(x-3)^2. \end{aligned}$

Z prostoty logaritmu plyne

$\begin{aligned} 6x-2 &= (x-3)^2,\\ 6x-2 &= x^2-6x+9,\\ x^2-12x+11 &= 0,\\ (x-1)(x-11) &= 0. \end{aligned}$

Kandidáty jsou čísla $1$ a $11$ . Číslo $1$ podmínku $x > 3$ nesplňuje, číslo $11$ ano (a je různé od $4$ ). Rovnice má tedy právě jedno řešení, $x = 11$ .

Příklad 2.64#

Vypočítejte $\log_8{16}$ .

A

8

B

2

C

\frac{3}{4}

D

12

E

\frac{4}{3}

Odpověď

E.

Nápověda

Obě čísla jsou mocniny dvojky: $8 = 2^3$ a $16 = 2^4$ . Použijte vzorec pro změnu základu $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ s $c = 2$ .

Postup řešení

Hledáme exponent $y$ , pro který $8^y = 16$ . Obě čísla zapíšeme jako mocniny dvojky:

$\left(2^3\right)^y = 2^4 \quad \iff \quad 2^{3y} = 2^4 \quad \iff \quad 3y = 4 \quad \iff \quad y = \frac{4}{3}.$

Jiný postup: Totéž lze úsporněji zapsat vzorcem pro změnu základu:

$\log_8 16 = \frac{\log_2 16}{\log_2 8} = \frac{4}{3}.$

Poznámka

Rychlý odhad: protože $8 < 16 < 8^2 = 64$ , musí být výsledek mezi $1$ a $2$ – to samo vyloučí všechny ostatní možnosti.

Příklad 2.65#

Řešte nerovnici $2^x < \frac{1}{8}$ .

A

x \in \left(-\infty, -3\right)

B

x \in \left(-\infty, \frac{1}{3}\right)

C

x \in \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right)

D

x \in \left(-3, +\infty\right)

E

x \in \left(\frac{1}{3}, +\infty\right)

Odpověď

A.

Nápověda

Pravou stranu zapište jako mocninu dvojky: $\frac18 = 2^{-3}$ . Základ $2$ je větší než $1$ , funkce je tedy rostoucí a znaménko nerovnosti se zachovává.

Postup řešení

Pravou stranu zapíšeme jako mocninu dvojky: $\frac{1}{8} = 2^{-3}$ . Nerovnice tedy zní

$2^x < 2^{-3}.$

Základ $2$ je větší než $1$ , exponenciální funkce je proto rostoucí a znaménko nerovnosti se při porovnání exponentů zachovává:

$x < -3.$

Množinou řešení je $\left(-\infty, -3\right)$ .

Příklad 2.66#

Která z následujících nerovnic má řešení?

A

7^x < -1

B

7^{\left|x\right|} < 0{,}7

C

7^{x^2} < 1

D

\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2} < 2

E

\left(\frac{1}{7}\right)^{x^2} > 2

Odpověď

D.

Nápověda

Klíčem je obor hodnot: mocnina s kladným základem je vždy kladná. Dále si všimněte, že $|x| \geq 0$ a $x^2 \geq 0$ , takže $7^{|x|} \geq 1$ a $\left(\frac17\right)^{x^2} \leq 1$ . Většinu možností tak vyloučíte bez jediného výpočtu.

Postup řešení

Postupně projdeme všechny možnosti. Využijeme, že $|x| \geq 0$ a $x^2 \geq 0$ pro každé reálné $x$ .

$7^x > 0 > -1$ pro každé $x$ ; nerovnice $7^x < -1$ tedy nemá řešení.
Protože $|x| \geq 0$ a základ $7 > 1$ , je $7^{|x|} \geq 7^0 = 1 > 0{,}7$ ; nerovnice nemá řešení.
Podobně $7^{x^2} \geq 7^0 = 1$ , takže ostrá nerovnost $7^{x^2} < 1$ nemůže nastat.
Základ $\frac17$ je menší než $1$ , takže $\left(\frac17\right)^{x^2} \leq \left(\frac17\right)^0 = 1 < 2$ . Nerovnice tedy platí dokonce pro každé reálné $x$ – řešení má.
Podle předchozího bodu je $\left(\frac17\right)^{x^2} \leq 1 < 2$ , nerovnice $\left(\frac17\right)^{x^2} > 2$ proto řešení nemá.

Řešení má tedy jediná nerovnice, a to ta z možnosti D.

Příklad 2.67#

Řešte nerovnici $9^{x+5} > {27}^x$ .

A

x \in \left(-\infty, 5\right)

B

x \in \left(10, +\infty\right)

C

x \in \left(-\infty, 10\right)

D

x \in \left(0, 10\right)

E

x \in \R

Odpověď

C.

Nápověda

Obě strany převeďte na mocninu trojky ( $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ ). Základ $3$ je větší než $1$ , znaménko nerovnosti se tedy při porovnání exponentů nemění.

Postup řešení

Obě strany zapíšeme jako mocninu trojky:

$9^{x+5} = \left(3^2\right)^{x+5} = 3^{2x+10}, \qquad 27^x = \left(3^3\right)^x = 3^{3x}.$

Základ $3$ je větší než $1$ , exponenciální funkce je rostoucí, a proto

$3^{2x+10} > 3^{3x} \quad \iff \quad 2x+10 > 3x \quad \iff \quad x < 10.$

Množinou řešení je $\left(-\infty, 10\right)$ .

Příklad 2.68#

Řešte nerovnici $7^x-7^\frac{1}{x} > 0$ .

A

x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(0, 1\right)

B

x \in \left(-1, 1\right)

C

x \in\left(1, +\infty\right)

D

x \in \left(-\infty, -1\right) \cup \left(1, +\infty\right)

E

x \in \left(-1, 0\right) \cup \left(1, +\infty\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Nerovnici přepište jako $7^x > 7^{1/x}$ . Základ $7$ je větší než $1$ , takže je ekvivalentní nerovnosti $x > \frac1x$ . Tu už řešte standardně: převeďte vše na jednu stranu, upravte na jeden zlomek a sestavte tabulku znamének. Nezapomeňte na podmínku $x \neq 0$ .

Postup řešení

Nerovnici přepíšeme jako $7^x > 7^{\frac{1}{x}}$ . Protože je základ $7 > 1$ , je exponenciální funkce rostoucí a nerovnost mezi mocninami je ekvivalentní téže nerovnosti mezi exponenty:

$x > \frac{1}{x}.$

Převedeme vše na jednu stranu a upravíme na jediný zlomek:

$x - \frac{1}{x} > 0 \quad \iff \quad \frac{x^2-1}{x} > 0 \quad \iff \quad \frac{(x-1)(x+1)}{x} > 0.$

Nulové body jsou $-1$ , $0$ a $1$ , přičemž $0$ je nulovým bodem jmenovatele (a už v původní nerovnici je ve výrazu $7^{1/x}$ potřeba $x \neq 0$ ), takže do množiny řešení patřit nemůže. Sestavíme tabulku znamének:

	$\left(-\infty, -1\right)$	$\left(-1, 0\right)$	$\left(0, 1\right)$	$\left(1, +\infty\right)$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x+1$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x$	$-$	$-$	$+$	$+$
podíl	$-$	$+$	$-$	$+$

Nerovnost je ostrá, nulové body tedy do řešení nepatří. Množinou řešení je

$\left(-1, 0\right) \cup \left(1, +\infty\right).$

Příklad 2.69#

Řešte nerovnici $3^x > 5^x$ .

A

x \in \left(-\infty, 0\right)

B

x \in \left(0, +\infty\right)

C

x \in \left(-\infty, -1\right)

D

x \in \left(1, +\infty\right)

E

x \in \emptyset

Odpověď

A.

Nápověda

Základy jsou různé, ale exponenty stejné – vydělte proto obě strany kladným výrazem $5^x$ . Dostanete $\left(\frac35\right)^x > 1$ , kde je základ menší než $1$ .

Postup řešení

Obě strany vydělíme kladným výrazem $5^x$ (znaménko nerovnosti se tím nemění):

$\left(\frac{3}{5}\right)^x > 1 = \left(\frac{3}{5}\right)^0.$

Základ $\frac35$ je menší než $1$ , příslušná exponenciální funkce je proto klesající a při porovnání exponentů se znaménko obrací:

$x < 0.$

Množinou řešení je $\left(-\infty, 0\right)$ .

Poznámka

Výsledek dává dobrý smysl i názorně: grafy funkcí $3^x$ a $5^x$ se protínají v bodě $(0,1)$ ; napravo od něj roste rychleji mocnina s větším základem, nalevo je tomu naopak.

Příklad 2.70#

Řešte nerovnici $2^{x+1}+2^x < 24$ .

A

x \in \left(-3, +\infty\right)

B

x \in \left(-\infty, -3\right)

C

x \in \left(3, +\infty\right)

D

x \in \left(0, 3\right)

E

x \in \left(-\infty, 3\right)

Odpověď

E.

Nápověda

Vytkněte $2^x$ ; platí totiž $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ .

Postup řešení

Protože $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$ , můžeme na levé straně vytknout $2^x$ :

$\begin{aligned} 2^x \left(2+1\right) & < 24, \\ 3 \cdot 2^x & < 24, \\ 2^x & < 8 = 2^3. \end{aligned}$

Základ $2$ je větší než $1$ , znaménko nerovnosti se tedy zachovává a dostáváme $x < 3$ . Množinou řešení je $\left(-\infty, 3\right)$ .

Příklad 2.71#

Řešte nerovnici $4^x-6\cdot2^x+8 < 0$ .

A

x \in \left(-6, 8\right)

B

x \in \left(2, 4\right)

C

x \in \left(1, 2\right)

D

x \in \left(-\infty, 2\right) \cup \left(4, +\infty\right)

E

x \in \left(-\infty, 1\right) \cup \left(2, +\infty\right)

Odpověď

C.

Nápověda

Všimněte si, že $4^x = \left(2^x\right)^2$ . Substituce $t := 2^x > 0$ proto nerovnici převede na kvadratickou.

Postup řešení

Protože $4^x = \left(2^2\right)^x = \left(2^x\right)^2$ , položíme $t := 2^x > 0$ . Nerovnice přejde na tvar

$t^2 - 6t + 8 < 0 \quad \iff \quad (t-2)(t-4) < 0 \quad \iff \quad t \in (2, 4).$

Vrátíme se k původní neznámé. Podmínku $2 < 2^x < 4$ zapíšeme jako $2^1 < 2^x < 2^2$ ; základ $2$ je větší než $1$ , takže

$1 < x < 2.$

Množinou řešení je interval $\left(1, 2\right)$ .

Poznámka

Možnost B je pastí pro toho, kdo zapomene provést návrat od substituce – interval $(2,4)$ je totiž množinou řešení pro pomocnou neznámou $t$ , nikoli pro $x$ .

Příklad 2.72#

Řešte nerovnici $2^{x^2} > \sin{x}$ .

A

x \in \emptyset

B

x \in \R

C

x \in \R \setminus \set{0}

D

x = 0

E

x \in \R \setminus \set{1}

Odpověď

B.

Nápověda

Zkoušet nerovnici řešit „poctivě“ nemá smysl – jde o funkce mající „různou přírodu“, jedna z nich je složením polynomiální a exponenciální funkce, druhá je goniometrická. Porovnejte místo toho obory hodnot obou stran: levá strana je vždy alespoň $1$ , pravá nejvýše $1$ . Zbývá jen prošetřit, zda mohou obě nabýt hodnoty $1$ současně.

Postup řešení

Odhadneme obě strany.

Levá strana. Pro každé reálné $x$ je $x^2 \geq 0$ , a protože je základ $2 > 1$ , platí

$2^{x^2} \geq 2^0 = 1,$

přičemž rovnost nastává právě pro $x = 0$ .

Pravá strana. Pro každé reálné $x$ je $\sin x \leq 1$ , přičemž rovnost nastává právě pro $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ , $k \in \Z$ .

Proto pro všechna reálná $x$

$\begin{cases} 2^{x^2} \geq 1,\\ \sin x \leq 1 \end{cases} \quad \implies \quad 2^{x^2} \geq \sin x.$

Rovnost by přitom vyžadovala současně $2^{x^2} = 1$ (tj. $x = 0$ ) a $\sin x = 1$ (tj. $x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$ ). Protože $0 \notin \set{\frac{\pi}{2} + 2k\pi \mid k \in \Z}$ , nastat nemůže, a nerovnost je tedy pro každé reálné $x$ dokonce ostrá. Množinou řešení je proto $\R$ .

Příklad 2.73#

Najděte množinu řešení nerovnice $\log_{\sin{1}}{x} > 2\log_{\sin{1}}{7}$ .

A

\left(49, +\infty\right)

B

\left(0, 49\right)

C

\left(14, +\infty\right)

D

\left(0, 14\right)

E

\left(-\infty, 49\right)

Odpověď

B.

Nápověda

Nejdůležitější je určit, zda je základ $\sin 1$ větší, nebo menší než $1$ – pozor, jde o $1$ radián, nikoli o jeden stupeň. Podle toho poznáte, zda se při „odlogaritmování“ znaménko obrací.

Postup řešení

Argument sinu v základu logaritmů je dán v radiánech, platí $0 < 1 < \frac{\pi}{2} \doteq 1{,}57$ , takže

$0 < \sin 1 < 1.$

Logaritmus o tomto základu je proto klesající funkce.

Pravou stranu upravíme na jediný logaritmus:

$2\log_{\sin 1} 7 = \log_{\sin 1} 7^2 = \log_{\sin 1} 49.$

Protože je logaritmus klesající, obrací se při porovnání argumentů znaménko. Argument logaritmu přitom musí být kladný:

$\log_{\sin 1} x > \log_{\sin 1} 49 \quad \iff \quad 0 < x < 49.$

Množinou řešení tedy je otevřený interval $\left(0, 49\right)$ .

Příklad 2.74#

Kolik celočíselných řešení má nerovnice $\log_\frac{1}{2}{\left(x+3\right)} \geq -1$ ?

A

0

B

1

C

2

D

3

Evíce než

3

Odpověď

C.

Nápověda

Nejprve podmínka $x+3 > 0$ . Základ $\frac12$ je menší než $1$ , logaritmus je tedy klesající a znaménko se při odlogaritmování obrací. Hodí se $\left(\frac12\right)^{-1} = 2$ .

Postup řešení

Pravou stranu zapíšeme jako logaritmus: $-1 = -\log_{\frac12} \frac12 = \log_{\frac12} 2$ , neboť $\left(\frac12\right)^{-1} = 2$ . Základ $\frac12$ je menší než $1$ , logaritmus je klesající, a proto se znaménko obrací; argument logaritmu musí být kladný:

$\log_{\frac12}(x+3) \geq \log_{\frac12} 2 \quad \iff \quad 0 < x+3 \leq 2 \quad \iff \quad -3 < x \leq -1.$

Celá čísla v intervalu $\left(-3, -1\right\rangle$ jsou $-2$ a $-1$ , nerovnice má tedy pouze dvě celočíselná řešení.

Příklad 2.75#

Řešte nerovnici $\left(\frac{1}{5}\right)^{\log_\frac{1}{5}{\left(2-x\right)}} < 2$ .

A

x \in \left(-\infty, 2\right)

B

x \in \left(-\infty, 0\right)

C

x \in \left(0, +\infty\right)

D

x \in \left(0, 2\right)

E

x \in \left(2, +\infty\right)

Odpověď

D.

Nápověda

Základ mocniny je stejný jako základ logaritmu, takže se navzájem „vyruší“: $a^{\log_a u} = u$ . Levá strana je tedy prostě $2-x$ – ale jen tam, kde je logaritmus definován, což dává nezbytnou podmínku.

Postup řešení

Mocnina a logaritmus o stejném základu se navzájem ruší, argument logaritmu však musí být kladný. Platí tedy $\left(\frac15\right)^{\log_{\frac15}(2-x)} = 2-x$ za podmínky $2-x > 0$ . Nerovnice pak zní

$0 < 2-x < 2 \quad \iff \quad 0 < x < 2 \quad \iff \quad x \in \left(0, 2\right).$

Poznámka

Bez podmínky kladnosti argumentu logaritmu bychom dostali chybnou odpověď C. Zde je obzvlášť dobře vidět, proč je důležité vždy pamatovat na definiční obor. Ten se dokonce často určuje ještě před jakýmkoli zjednodušením: po úpravě na tvar $2-x$ už z výrazu nijak nepoznáme, že $x$ muselo být menší než $2$ .

Příklad 2.76#

Řešte nerovnici $\log_\frac{1}{3}{\log_5{x}} \geq 0$ .

A

x \in \left(\frac{1}{3}, 5\right\rangle

B

x \in \left(1, 5\right\rangle

C

x \in \left(0, 1\right\rangle

D

x \in \left(-\infty, 0\right\rangle \cup \left\langle1, +\infty\right)

E

x \in \left(-\infty, 1\right\rangle \cup \left\langle5, +\infty\right)

Odpověď

B.

Nápověda

Postupujte zvenku dovnitř a označte si $u := \log_5 x$ . Podmínkou je $u > 0$ ; vnější logaritmus má základ $\frac13 < 1$ , je tedy klesající. Teprve nakonec se vraťte k $x$ .

Postup řešení

Označme $u := \log_5 x$ .

Vnější logaritmus má základ $\frac13 < 1$ , je tedy klesající. Protože $0 = \log_{\frac13} 1$ , platí

$\log_{\frac13} u \geq \log_{\frac13} 1 \quad \iff \quad 0 < u \leq 1 \quad \iff \quad 0 < \log_5 x \leq 1.$

Základ $5$ je větší než $1$ , funkce $\log_5$ je tedy rostoucí a

$5^0 < x \leq 5^1, \qquad \text{tj.} \qquad 1 < x \leq 5.$

Množinou řešení je $\left(1, 5\right\rangle$ .

Příklad 2.77#

Najděte množinu řešení nerovnice $\log_x{5} < 1$ .

A

\left(0, 1\right) \cup \left(1, +\infty\right)

B

\left(0, 1\right) \cup \left(5, +\infty\right)

C

\left(0, +\infty\right)

D

\left(0, 5\right) \cup \left(5, +\infty\right)

E

\left(1, 5\right)

Odpověď

B.

Nápověda

Neznámá je tentokrát v základu. Nejprve zapište podmínky, které musí základ splňovat, a pak rozlište dva případy: $x > 1$ (logaritmus je kladný) a $0 < x < 1$ (záporný). Poté pomůže vzorec $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ .

Postup řešení

Základ logaritmu musí být kladný a různý od jedné:

$x > 0, \qquad x \neq 1.$

Dále rozlišíme dva případy.

Případ $x > 1$ . Výraz $\log_x 5$ je kladný, použitím vlastnosti $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$ a vynásobením obou stran nerovnosti (znaménko se zachovává) získáme

$\frac{1}{\log_5 x} < 1 \quad \overset{x>1}\iff \quad \log_5 x > 1 \quad \iff \quad x > 5.$

Spolu s předpokladem případu dostáváme $x > 5$ .
Případ $0 < x < 1$ . Výraz $\log_x 5$ je záporný, nerovnost $\log_x 5 < 1$ tedy platí pro každé $x$ z tohoto intervalu.

Sjednocením obou případů je množina

$\left(0, 1\right) \cup \left(5, +\infty\right).$

Poznámka

Zkouška v obou částech: pro $x = \frac12$ je $\log_{\frac12} 5 < 0 < 1$ a pro $x = 25$ je $\log_{25} 5 = \frac12 < 1$ . Naopak pro $x = 3$ (které do řešení nepatří) je $\log_3 5 > \log_3 3 = 1$ .

Příklad 2.78#

Řešte nerovnici $x^x < 1$ pro $x > 0$ .

A

x \in \left(1, +\infty\right)

B

x \in \left(0, +\infty\right)

C

x \in \left(0, 1\right)

D

x \in \left(-\infty, 0\right) \cup \left(0, 1\right)

E

x = 1

Odpověď

C.

Nápověda

Nerovnici zlogaritmujte – například přirozeným logaritmem, který je rostoucí, takže znaménko zůstane. Dostanete $x\ln x < 0$ a odtud už rozhodnete o znaménku snadno, neboť $x > 0$ .

Postup řešení

Obě strany jsou kladné, můžeme je tedy zlogaritmovat. Přirozený logaritmus je rostoucí, znaménko nerovnosti se proto zachovává:

$x^x < 1 \quad \iff \quad \ln\left(x^x\right) < \ln 1 \quad \iff \quad x\ln x < 0.$

Podle předpokladu je $x > 0$ , takže nerovnost platí právě tehdy, když $\ln x < 0$ , tj. když $0 < x < 1$ . Množinou řešení je proto $\left(0, 1\right)$ .

Poznámka

Názorně: umocňujeme-li číslo mezi nulou a jedničkou na kladný exponent, výsledek zůstává menší než jedna (například $\left(\frac14\right)^{1/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1$ ). Naopak pro $x > 1$ je $x^x > 1$ a pro $x = 1$ je $1^1 = 1$ .

Polynomy

Základní příklady

Doplňující příklady

Goniometrické funkce

Základní příklady

Doplňující příklady

Exponenciální a logaritmická funkce

Základní příklady

Doplňující příklady

Potvrzení