Lumos
Kontakty

Přednáška 3

Komplexní čísla

Zavedení komplexních čísel, algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla, absolutní hodnota komplexního čísla, základní aritmetické operace a jejich vlastnosti, umocňování a odmocňování komplexních čísel, Moivreova věta.

PDF

S reálnými čísly, která již dobře znáte ze střední školy, si ani v prvním ročníku nevystačíme. Skutečným důvodem zavedení komplexních čísel nebyla touha za každou cenu vytvořit odmocninu ze záporného čísla – rovnici x2=−1x^2 = -1 bychom mohli prostě prohlásit za neřešitelnou a jít dál (a právě tak to bylo během tisíciletí a nebyl v tom žádný problém). Opravdový důvod se objevil už v 16. století u rovnic třetího stupně.

Příklad 3.1Motivační#

Uvažujme rovnici

x3=15x+4.x^3 = 15x + 4.

Snadno uhodneme, že x=4x = 4 je jejím kořenem – a jde o zcela obyčejné reálné, dokonce přirozené číslo. Pokus o řešení této rovnice podle obecného schématu pomocí Cardanova vzorce pro rovnici tvaru x3=px+qx^3 = px + q (který Cardano ve skutečnosti neobjevil, ale jenom publikoval) však dává

x=q2+q24−p3273+q2−q24−p3273=2+−1213+2−−1213,x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} - \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} - \frac{p^3}{27}}} = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 - \sqrt{-121}},

neboť zde q2=2\frac{q}{2} = 2, q24=4\frac{q^2}{4} = 4 a p327=125\frac{p^3}{27} = 125.

Pod druhou odmocninou se objevilo záporné číslo, a to u rovnice, jejíž kořen je čtyřka. Dovolíme-li si počítat se symbolem ii, pro který i2=−1i^2 = -1, dostaneme −121=11i\sqrt{-121} = 11i, a protože (2±i)3=2±11i(2 \pm i)^3 = 2 \pm 11i, vyjde

x=(2+i)+(2−i)=4.x = (2+i) + (2-i) = 4.

Cestou k reálnému výsledku jsme tedy museli projít „nemožnými“ čísly. Tato skutečnost nás až po několika staletích po Cardanovi přiměla brát komplexní čísla vážně.

Rozšíření číselného oboru se navíc bohatě vyplatí. V oboru komplexních čísel má každý polynom stupně n≥1n \geq 1 přesně nn kořenů, počítáme-li je i s násobností; to je obsah tzv. základní věty algebry, se kterou se setkáte v pozdějších předmětech. Nic podobného v R\R neplatí – už polynom x2+1x^2+1 tam nemá kořen žádný.

V dnešní přednášce se stručně seznámíme se základy teorie komplexních čísel a naučíme se s nimi pracovat.

Definice 3.2Komplexní číslo#

Komplexní číslo zz definujeme jako uspořádanou dvojici reálných čísel, tj. z:=(x,y)z := (x, y), kde x,y∈Rx, y \in \R. Číslo Re z:=x\mathrm{Re}\,z := x nazýváme reálnou částí (složkou) komplexního čísla zz, Im z:=y\mathrm{Im}\,z := y je imaginární část (složka).

Množinu všech komplexních čísel značíme C\C.

Definice 3.3Rovnost komplexních čísel#

Dvě komplexní čísla z1=(x1,y1)z_1 = (x_1, y_1) a z2=(x2,y2)z_2 = (x_2, y_2) jsou si rovna právě tehdy, když jsou si rovny jejich reálné i imaginární části, tedy

(z1=z2)⟺def(Re z1=Re z2)∧(Im z1=Im z2)⟺(x1=x2)∧(y1=y2).(z_1 = z_2) \quad \overset{\text{def}}{\Longleftrightarrow} \quad (\mathrm{Re}\,z_1=\mathrm{Re}\,z_2) \land (\mathrm{Im}\,z_1=\mathrm{Im}\,z_2) \quad \Longleftrightarrow \quad (x_1=x_2) \land (y_1=y_2).

Poznámka 3.4#

Na rozdíl od reálných čísel pro komplexní čísla nejsou definovány relace „<<“ a „>>“, tj. komplexní čísla nejsou uspořádaná a ani je nelze rozumně uspořádat vzhledem k operacím sčítání a násobení, které zavedeme dále.

Povšimněme si, že protože komplexní číslo je dvojice reálných čísel (x,y)(x, y), lze každé komplexní číslo jednoznačně zobrazit na bod roviny s kartézskými souřadnicemi [x,y][x, y]. Formálně řečeno, jde o vzájemně jednoznačné zobrazení (neboli bijekci) množiny všech komplexních čísel na množinu všech bodů roviny.

Definice 3.5Gaussova komplexní rovina#

Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla takovým způsobem, že xx-ová souřadnice bodu roviny se rovná reálné části komplexního čísla a zároveň yy-ová souřadnice daného bodu je rovna imaginární části tohoto čísla, se nazývá komplexní nebo také Gaussova rovina. Osu xx v tomto případě nazýváme reálnou osou, osa yy je imaginární osa.

Definice 3.6Komplexně sdružené číslo#

Komplexně sdruženým k číslu z=(x,y)z = (x, y) nazýváme číslo s opačnou imaginární částí, tj. číslo z‾:=(x,−y)\overline{z} := (x, -y).

Říkáme také, že čísla zz a z‾\overline{z} jsou navzájem komplexně sdružená. V Gaussově rovině jsou obrazy těchto čísel souměrné podle reálné osy (osy xx, viz obrázek 5).

Definice 3.7Opačné komplexní číslo#

Komplexní číslo opačné k číslu z=(x,y)z = (x, y) je číslo s opačnou reálnou i imaginární částí, tj. číslo −z:=(−x,−y)-z := (-x, -y).

Říkáme také, že čísla zz a −z-z jsou navzájem opačná. V Gaussově rovině jsou jejich obrazy středově souměrné podle počátku souřadnic (viz obrázek 5).

Obrázek 5: Komplexně sdružené a opačné komplexní číslo.

Absolutní hodnota reálného čísla má význam vzdálenosti jeho obrazu na reálné číselné ose od nuly – počátku souřadnic. Podobně zavádíme absolutní hodnotu komplexního čísla.

Definice 3.8Absolutní hodnota#

Absolutní hodnota (také velikost nebo modul) komplexního čísla z=(x,y)z = (x, y) je vzdálenost jeho obrazu v komplexní rovině od počátku souřadnic [0,0][0, 0]. Značíme ji ∣z∣|z|, často k tomu speciálně použijeme písmenko rr nebo ϱ\rho.

Z Pythagorovy věty plyne, že se absolutní hodnota komplexního čísla z=(x,y)z = (x, y) rovná ∣z∣=x2+y2|z| = \sqrt{x^2+y^2} (viz obrázek 6).

Absolutní hodnota komplexního čísla je tedy vždy nezáporné číslo, speciálně platí

∣z∣=0⟺z=(0,0).|z| = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad z = (0, 0).

Obrázek 6: Absolutní hodnota komplexního čísla.

Aritmetické operace s komplexními čísly můžeme formálně zavést, i pokud si je budeme představovat pouze ve tvaru uspořádaných dvojic. Jednodušší bude zavést je až po definici algebraického tvaru komplexního čísla.

Definice 3.9Imaginární jednotka#

Komplexní číslo (0,1)(0, 1) nazveme imaginární jednotkou a budeme ji značit písmenem ii.

Definice 3.10Algebraický tvar komplexního čísla#

Algebraický tvar komplexního čísla z=(x,y)z = (x, y) je výraz x+iyx+iy. Protože každý takový zápis jednoznačně přísluší konkrétnímu komplexnímu číslu, dále si dovolíme zapisovat také

z=x+iy.z = x+iy.

Poznámka 3.11#

Protože komplexní čísla typu z=(x,0)z = (x, 0) mají algebraický tvar z=x+i⋅0=x∈Rz = x + i\cdot0 = x \in \R, v podstatě jde o reálná čísla. Proto reálná čísla lze uvažovat jako speciální případ komplexních čísel. Jejich obrazy leží v Gaussově rovině na reálné ose.

Definice 3.12Ryze imaginární číslo#

Komplexní čísla typu z=(0,y)z = (0, y) mají algebraický tvar z=0+iy=iyz = 0 + iy = iy, nazýváme je ryze imaginární. Jejich obrazy se nachází na imaginární ose.

Komplexní čísla lze sčítat a násobit. Zavedeme tyto a další základní operace s využitím vztahu i2=−1i^2 = -1 (k jeho důkazu se ještě vrátíme) tak, aby se zachovala platnost komutativního, distributivního a asociativního zákona.

Definice 3.13Základní aritmetické operace#

Pro komplexní čísla z1=x1+iy1z_1 = x_1 + iy_1 a z2=x2+iy2z_2 = x_2 + iy_2 definujeme operace:

  • Sčítání:

    z1+z2:=(x1+x2)+i(y1+y2) [ =(x1+iy1)+(x2+iy2) ].z_1+z_2 := \left(x_1+x_2\right)+i\left(y_1+y_2\right) \tgray{\ \left[\ = \left(x_1+iy_1\right)+\left(x_2+iy_2\right)\ \right].}

  • Odčítání:

    z1−z2:=(x1−x2)+i(y1−y2) [ =z1+(−z2)=(x1+iy1)+(−x2+i(−y2)) ].z_1-z_2 := \left(x_1-x_2\right)+i\left(y_1-y_2\right) \tgray{\ \left[\ = z_1 + (-z_2) = \left(x_1+iy_1\right)+\left(-x_2+i(-y_2)\right)\ \right].}

  • Násobení:

    z1⋅z2:=(x1x2−y1y2)+i(x1y2+x2y1) [ =(x1+iy1)⋅(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+ix2y1+i2⏟=−1y1y2 ].\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &:= \left(x_1x_2-y_1y_2\right)+i\left(x_1y_2+x_2y_1\right) \\ &\tgray{\ \left[\ = \left(x_1+iy_1\right) \cdot \left(x_2+iy_2\right) = x_1x_2 + ix_1y_2 + ix_2y_1 + \underbrace{i^2}_{=-1}y_1y_2\ \right].} \end{aligned}

  • Dělení (z2≠0z_2 \neq 0):

    z1z2:=x1x2+y1y2x22+y22+ix2y1−x1y2x22+y22 [ =z1⋅z2‾z2⋅z2‾=(x1+iy1)(x2−iy2)(x2+iy2)(x2−iy2)=x1x2−ix1y2+ix2y1−i2y1y2x22−(iy2)2⏟=x22+y22=∣z2∣2 ].\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &:= \frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \\ &\tgray{\ \left[\ = \frac{z_1\cdot\overline{z_2}}{z_2\cdot\overline{z_2}} = \frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)} = \frac{x_1x_2-ix_1y_2+ix_2y_1-i^2y_1y_2}{\underbrace{x_2^2-(iy_2)^2}_{= x_2^2+y_2^2 = |z_2|^2}}\ \right].} \end{aligned}

Operace s komplexními čísly jsme tedy definovali tak, aby bylo možné používat k příslušným výpočtům známé vlastnosti pro práci se závorkami (uvedené výše šedou barvou).

Poznámka 3.14#

Při „odvození“ dělení jsme zároveň dokázali důležitou vlastnost

z⋅z‾=∣z∣2∈R,z \cdot \overline{z} = |z|^2 \in \R,

absolutní hodnotu lze tedy počítat i pomocí vzorce ∣z∣=z⋅z‾|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}.

Poznámka 3.15#

Podle zavedené definice operace násobení pro imaginární jednotku ii platí:

i2=i⋅i=(0,1)⋅(0,1)=(0⋅0−1⋅1)+i(0⋅1+0⋅1)=−1.i^2 = i \cdot i = (0,1) \cdot (0,1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + i (0 \cdot 1 + 0 \cdot 1) = -1.

Obdobně můžeme dokázat, že i pro −i=(0,−1)-i = (0, -1) platí (−i)2=−1(-i)^2 = -1.

Proto lze naše „odvození“ operací násobení a dělení komplexních čísel považovat za korektní.

Poznámka 3.16#

Kromě grafického znázornění komplexních čísel jako bodů v Gaussově rovině můžeme každému nenulovému komplexnímu číslu z=(x,y)z = (x, y) přiřadit průvodič (radiusvektor) z⃗\vec{z}, který spojuje počátek souřadnic s bodem [x,y][x, y].

Tím získáváme přirozenou geometrickou interpretaci sčítání a odčítání komplexních čísel jako operací s vektory, viz obrázek 7.

Obrázek 7: Geometrická ilustrace operací sčítání a odčítání.

Poznámka 3.17#

Stejně jako to platilo pro čísla reálná, výraz ∣z1−z2∣|z_1 - z_2| lze interpretovat jako vzdálenost mezi obrazy komplexních čísel z1z_1, z2z_2 v Gaussově rovině.

Skutečně, pro z1:=x1+iy1z_1 := x_1 + iy_1 a z2:=x2+iy2z_2 := x_2 + iy_2 platí

∣z1−z2∣=∣(x1−x2)+i(y1−y2)∣=(x1−x2)2+(y1−y2)2,|z_1 - z_2| = |(x_1-x_2) + i(y_1-y_2)| = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2},

což podle Pythagorovy věty odpovídá vzdálenosti mezi body [x1,y1][x_1, y_1] a [x2,y2][x_2, y_2] v rovině.

Příklad 3.18#

Vykreslete všechna komplexní čísla zz, pro která platí:

  1. ∣z∣=2|z| = 2;
  2. ∣z+1+i∣=2|z + 1 + i| = 2;
  3. ∣z+1+i∣<2|z + 1 + i| < 2;
  4. ∣z−1∣≤1|z - 1| \leq 1;
  5. ∣z−1∣=∣z+1∣|z - 1| = |z + 1|.
Odpověď
  1. kružnice se středem v počátku a poloměrem 22;
  2. kružnice se středem v bodě −1−i-1-i a poloměrem 22;
  3. vnitřek téže kružnice (bez hraniční kružnice);
  4. kruh se středem v bodě 11 a poloměrem 11 včetně hraniční kružnice;
  5. osa úsečky s krajními body −1-1 a 11, tedy imaginární osa.

Poznámka 3.19#

Snadno lze dokázat následující vlastnosti pro komplexně sdružená čísla:

z1+z2‾=z1‾+z2‾,z1−z2‾=z1‾−z2‾,z1⋅z2‾=z1‾⋅z2‾,(z1z2)‾=z1‾z2‾.\begin{gathered} \overline{z_1+z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}, \qquad \overline{z_1-z_2} = \overline{z_1} - \overline{z_2},\\ \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}, \qquad \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}. \end{gathered}

(U posledního vztahu ovšem z2≠0z_2 \neq 0.)

Poznámka 3.20#

Pro absolutní hodnotu komplexního čísla máme následující vlastnosti:

  • Přímým důkazem lze odvodit, že

    ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣.|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|.

    Avšak obecně neplatí

    ∣z1+z2∣ = ∣z1∣+∣z2∣.|z_1 + z_2| \ \tred{=}\ |z_1| + |z_2|.

  • Platí tzv. trojúhelníková nerovnost:

    ∣z1+z2∣≤∣z1∣+∣z2∣.|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|.

    Dokázat ji můžeme i pomocí geometrické interpretace operace sčítání.

Poznámka 3.21#

Proč jsme definovali dělení komplexních čísel zrovna takto komplikovaně? Zkusme zodpovědět tuto otázku pomocí následující formalizace.

Nechť máme čísla z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \C (z2≠0z_2 \neq 0). Hledáme jejich podíl, tedy hledáme takové z∈Cz \in \C, aby z=z1z2z = \frac{z_1}{z_2}. Protože chceme, aby dělení bylo operací opačnou k operaci násobení, musí platit

z⋅z2=z1.z \cdot z_2 = z_1.

Pokud z2∈Rz_2 \in \R, úloha je snadná: vynásobíme předchozí rovnici číslem 1z2∈R\frac{1}{z_2} \in \R a dostaneme

z=1z2⋅z1.z = \frac{1}{z_2} \cdot z_1.

Například:

z=3+4i2=12⋅(3+4i)=32+2i.z = \frac{3+4i}{2} = \frac{1}{2} \cdot (3+4i)=\frac{3}{2}+ 2i.

Pokud z2∉Rz_2 \notin \R, pak nejprve vynásobíme rovnici z1=z⋅z2z_1 = z \cdot z_2 číslem z2‾\overline{z_2}. Dostaneme

z1⋅z2‾=z⋅z2⋅z2‾,z1⋅z2‾=z⋅∣z2∣2,\begin{aligned} z_1 \cdot \overline{z_2} &= z \cdot z_2 \cdot \overline{z_2},\\ z_1 \cdot \overline{z_2} &= z \cdot \left|z_2\right|^2, \end{aligned}

tedy

z=1∣z2∣2⏟∈R⋅(z1⋅z2‾)z = \frac{1}{\underbrace{\left|z_2\right|^2}_{\in \R}} \cdot \left(z_1 \cdot \overline{z_2}\right)

a můžeme aplikovat předchozí postup. Příklad:

z=3+4i2−i=(3+4i)(2+i)(2−i)(2+i)=2+11i5=25+115i.z = \frac{3+4i}{2-i} = \frac{(3+4i)(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{2+11i}{5} = \frac{2}{5}+\frac{11}{5}i.

Bod ZZ, který je obrazem nenulového komplexního čísla z=(x,y)z = (x,y) v komplexní rovině, můžeme určit pomocí jeho vzdálenosti ∣z∣|z| od počátku OO a velikosti orientovaného úhlu φ\varphi mezi kladnou poloosou xx a polopřímkou OZOZ, kde kladná poloosa xx je počátečním ramenem. Z této jednoduché myšlenky vzniká goniometrický tvar komplexního čísla.

Definice 3.22Goniometrický tvar komplexního čísla#

Goniometrický tvar komplexního čísla z≠0z \neq 0 je jeho vyjádření následujícím způsobem:

z=ϱ(cos⁡φ+isin⁡φ),z = \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi),

kde ϱ:=∣z∣\rho := |z| a φ\varphi je orientovaný úhel, který svírá průvodič obrazu zz v Gaussově rovině s polopřímkou kladných reálných čísel.

Reálné číslo φ\varphi se nazývá argument komplexního čísla zz. Množinu všech argumentů značíme arg⁡z\arg z.

Poznámka 3.23#

Ze základních znalostí goniometrických funkcí lze goniometrický tvar komplexního čísla odvodit z tvaru algebraického (viz obrázek 8):

z=x+iy=ϱcos⁡φ+i(ϱsin⁡φ)=ϱ(cos⁡φ+isin⁡φ).z = x + iy = \rho \cos \varphi + i (\rho \sin \varphi) = \rho (\cos \varphi + i \sin \varphi).

Obrázek 8: Přechod k goniometrickému tvaru.

Poznámka 3.24#

Protože pro z=0z = 0 platí, že ϱ=0\rho = 0, lze i pro toto číslo využívat goniometrického tvaru. Argument však nemůžeme jednoznačně definovat.

Poznámka 3.25#

Goniometrické funkce jsou periodické, proto není argument komplexního čísla určen jednoznačně. Má-li komplexní číslo argument φ\varphi, má také argument φ+2kπ\varphi + 2k\pi, kde k∈Zk \in \Z. To znamená, že argument komplexního čísla lze určit jednoznačně až na celý násobek 2π2\pi.

Množina arg⁡z\arg z však obsahuje jedinou hodnotu φ\varphi s vlastností φ∈⟨0,2π)\varphi \in \langle 0, 2\pi). Toto φ\varphi nazýváme hlavní hodnotou argumentu (nebo základní argument) komplexního čísla zz a značíme Arg⁡z\operatorname{Arg} z. Je pak

arg⁡z={ψ∣ψ=Arg⁡z+2kπ,k∈Z}.\arg z = \set{\psi \mid \psi=\operatorname{Arg} z + 2k\pi, k \in \Z}.

Poznamenejme, že v definici základního argumentu nepanuje všeobecná shoda: místo intervalu ⟨0,2π)\langle 0, 2\pi) se pro Arg⁡z\operatorname{Arg} z může uvažovat interval (−π,π⟩(-\pi, \pi\rangle.

Příklad 3.26#

Goniometrický tvar komplexního čísla z=−1z = -1 je z=1⋅(cos⁡π+isin⁡π)=cos⁡π+isin⁡πz = 1 \cdot (\cos \pi + i \sin \pi) = \cos \pi + i \sin \pi.

Násobení a dělení komplexních čísel je často jednodušší provádět právě v goniometrickém tvaru.

Poznámka 3.27#

Mějme dvě nenulová komplexní čísla z1=ϱ1(cos⁡φ1+isin⁡φ1)z_1 = \rho_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) a z2=ϱ2(cos⁡φ2+isin⁡φ2)z_2 = \rho_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2). Pak pro jejich součin pomocí goniometrických součtových vzorců dostaneme:

z1⋅z2=ϱ1(cos⁡φ1+isin⁡φ1)⋅ϱ2(cos⁡φ2+isin⁡φ2)==ϱ1ϱ2(cos⁡φ1+isin⁡φ1)(cos⁡φ2+isin⁡φ2)==ϱ1ϱ2(cos⁡φ1cos⁡φ2+icos⁡φ1sin⁡φ2+isin⁡φ1cos⁡φ2+i2⏟=−1sin⁡φ1sin⁡φ2)==ϱ1ϱ2((cos⁡φ1cos⁡φ2−sin⁡φ1sin⁡φ2)+i(sin⁡φ1cos⁡φ2+sin⁡φ2cos⁡φ1))==ϱ1ϱ2(cos⁡(φ1+φ2)+isin⁡(φ1+φ2)).\begin{aligned} z_1 \cdot z_2 &= \rho_1 (\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1) \cdot \rho_2 (\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) =\\ &= \rho_1 \rho_2 (\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2) =\\ &= \rho_1 \rho_2 (\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 + i\cos\varphi_1 \sin\varphi_2 + i\sin\varphi_1 \cos\varphi_2 + \underbrace{i^2}_{=-1}\sin\varphi_1 \sin\varphi_2) =\\ &= \rho_1 \rho_2 \left((\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \sin\varphi_2) + i(\sin\varphi_1 \cos\varphi_2 + \sin\varphi_2 \cos\varphi_1)\right) =\\ &= \rho_1\rho_2 \left(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2)\right). \end{aligned}

Podobným způsobem můžeme odvodit i dělení komplexních čísel v goniometrickém tvaru:

z1z2=ϱ1(cos⁡φ1+isin⁡φ1)ϱ2(cos⁡φ2+isin⁡φ2)=ϱ1(cos⁡φ1+isin⁡φ1)ϱ2(cos⁡φ2+isin⁡φ2)⋅(cos⁡φ2−isin⁡φ2)(cos⁡φ2−isin⁡φ2)⏞=1==ϱ1ϱ2⋅cos⁡φ1cos⁡φ2−icos⁡φ1sin⁡φ2+isin⁡φ1cos⁡φ2−i2⏞=+1sin⁡φ1sin⁡φ2(cos⁡φ2)2−(isin⁡φ2)2==ϱ1ϱ2⋅(cos⁡φ1cos⁡φ2+sin⁡φ1sin⁡φ2)+i(sin⁡φ1cos⁡φ2−cos⁡φ1sin⁡φ2)cos⁡2φ2+sin⁡2φ2⏟=1==ϱ1ϱ2(cos⁡(φ1−φ2)+isin⁡(φ1−φ2)).\begin{aligned} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{\rho_1 (\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)}{\rho_2 (\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)} = \frac{\rho_1 (\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1)}{\rho_2 (\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)} \cdot \overbrace{\frac{(\cos\varphi_2 - i\sin\varphi_2)}{(\cos\varphi_2 - i\sin\varphi_2)}}^{=1} =\\ &= \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - i\cos\varphi_1 \sin\varphi_2 + i\sin\varphi_1 \cos\varphi_2 \overbrace{- i^2}^{=+1} \sin\varphi_1 \sin\varphi_2}{(\cos\varphi_2)^2 -(i\sin\varphi_2)^2} =\\ &= \frac{\rho_1}{\rho_2} \cdot \frac{(\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 + \sin\varphi_1 \sin\varphi_2) + i(\sin\varphi_1 \cos\varphi_2 - \cos\varphi_1 \sin\varphi_2)}{\underbrace{\cos^2 \varphi_2 + \sin^2 \varphi_2}_{=1}} =\\ &= \frac{\rho_1}{\rho_2} \left(\cos(\varphi_1-\varphi_2) + i\sin(\varphi_1-\varphi_2)\right). \end{aligned}

Poznámka 3.28#

Geometrická interpretace násobení komplexního čísla z1=ϱ1(cos⁡φ1+isin⁡φ1)z_1 = \rho_1 (\cos \varphi_1 + i \sin \varphi_1) číslem z2=ϱ2(cos⁡φ2+isin⁡φ2)z_2 = \rho_2 (\cos \varphi_2 + i \sin \varphi_2) spočívá v tom, že příslušný průvodič z1⃗\vec{z_1} otočíme kolem počátku souřadnic proti směru hodinových ručiček o úhel φ2\varphi_2 a zároveň jej vynásobíme reálným číslem ϱ2\rho_2 (tedy prodloužíme ϱ2\rho_2-krát).

Analogicky při dělení čísla z1z_1 číslem z2z_2 otáčíme vektor z1⃗\vec{z_1} ve směru hodinových ručiček o úhel φ2\varphi_2 a násobíme jej číslem 1ϱ2\frac{1}{\rho_2}.

Příklad 3.29#

Vypočtěte v goniometrickém tvaru a ukažte geometricky v Gaussově rovině (1+i)⋅i\dst (1+i) \cdot i.

Odpověď

(1+i)⋅i=2(cos⁡3π4+isin⁡3π4)=−1+i(1+i) \cdot i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i \sin\frac{3\pi}{4}\right) = -1+i. Geometricky jde o otočení průvodiče čísla 1+i1+i o pravý úhel proti směru hodinových ručiček. Absolutní hodnota ∣i∣=1|i| = 1, proto se délka vektoru nemění.

Definice 3.30Mocnina komplexního čísla#

Pro n∈Nn \in \N definujeme nn-tou mocninu komplexního čísla zz pomocí operace součinu:

zn:=z⋅z⋅…⋅z⏟n-kraˊt.z^n := \underbrace{z \cdot z \cdot \ldots \cdot z}_{n\text{-krát}}.

Poznámka 3.31#

Pro mocniny imaginární jednotky platí (n∈Nn \in \N, k∈N0k \in \N_0):

in={1,n=4k,i,n=4k+1,−1,n=4k+2,−i,n=4k+3.i^n = \begin{cases} 1, \quad & n = 4k, \\ i, & n = 4k + 1, \\ -1, & n = 4k + 2, \\ -i, & n = 4k + 3. \end{cases}

Definice 3.32Odmocnina komplexního čísla#

Nechť n∈Nn \in \N. nn-tou odmocninou komplexního čísla zz nazýváme každé komplexní číslo tt, pro které platí tn=zt^n = z. Symbolem zn\sqrt[n]{z} značíme množinu všech takových čísel, tj.

zn:={t∈C∣tn=z}.\sqrt[n]{z} := \set{t \in \C \mid t^n = z}.

Poznámka 3.33#

Na rozdíl od reálné odmocniny tedy v C\C nejde o jediné číslo, ale o celou množinu. Za chvíli uvidíme, že pro z≠0z \neq 0 má tato množina právě nn prvků.

Umocňování v goniometrickém tvaru vlastně už umíme. Podle vzorce pro součin se při násobení dvou čísel jejich absolutní hodnoty násobí a argumenty sčítají. Násobíme-li tedy číslo zz opakovaně samo sebou, musí se jeho absolutní hodnota umocňovat a argument násobit počtem činitelů. Přesně to říká následující věta – a formálně ji dokážeme matematickou indukcí, se kterou jsme se seznámili v minulé přednášce.

Věta 3.34Moivreova#

Pro z∈C∖{0}z \in \C \setminus \set{0} se základním argumentem φ\varphi a n∈Nn \in \N platí

zn=∣z∣n(cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ)).z^n = |z|^n (\cos (n \varphi) + i \sin (n \varphi)).

Důkaz

Postupujeme matematickou indukcí podle nn.

Základ indukce. Pro n=1n = 1 je dokazovaný vztah přesně goniometrickým tvarem čísla zz, tedy z=∣z∣(cos⁡φ+isin⁡φ)z = |z| (\cos\varphi + i \sin\varphi).

Indukční krok. Nechť vzorec platí pro jisté n∈Nn \in \N. S využitím vzorce pro součin v goniometrickém tvaru (absolutní hodnoty se násobí, argumenty sčítají) dostáváme

zn+1=zn⋅z=IP(∣z∣n(cos⁡(nφ)+isin⁡(nφ)))⋅(∣z∣(cos⁡φ+isin⁡φ))==∣z∣n+1(cos⁡(nφ+φ)+isin⁡(nφ+φ))==∣z∣n+1(cos⁡((n+1)φ)+isin⁡((n+1)φ)),\begin{aligned} z^{n+1} = z^n \cdot z & \overset{\text{IP}}= \Bigl(|z|^n \bigl(\cos (n\varphi) + i \sin (n\varphi)\bigr)\Bigr) \cdot \Bigl(|z| \bigl(\cos\varphi + i \sin\varphi\bigr)\Bigr) = \\ & = |z|^{n+1} \bigl(\cos (n\varphi + \varphi) + i \sin (n\varphi + \varphi)\bigr) = \\ & = |z|^{n+1} \bigl(\cos ((n+1)\varphi) + i \sin ((n+1)\varphi)\bigr), \end{aligned}

což je dokazovaný vzorec pro n+1n+1.

Důsledek 3.35#

Je-li z≠0z \neq 0 se základním argumentem φ\varphi a n∈Nn \in \N, existuje právě nn různých hodnot odmocniny zn\sqrt[n] z, a to

zn={∣z∣n(cos⁡φ+2kπn+isin⁡φ+2kπn)  |  k∈{0,1,…,n−1}}.\sqrt[n]{z} = \left\{ \sqrt[n]{|z|} \left(\cos \frac{\varphi+2k\pi}{n} + i \sin \frac{\varphi+2k\pi}{n} \right) \;\middle|\; k \in \set{0, 1, \dots, n-1} \right\}.

Zřejmě je 0n={0}\sqrt[n]{0} = \set{0}.

Důkaz

Nechť nejprve z≠0z \neq 0. Hledáme všechna t∈Ct \in \C s vlastností tn=zt^n = z. Protože z≠0z \neq 0, je nutně i t≠0t \neq 0, a lze tedy psát t=r(cos⁡α+isin⁡α)t = r (\cos\alpha + i \sin\alpha), kde r:=∣t∣>0r := |t| > 0. Podle Moivreovy věty je

tn=rn(cos⁡(nα)+isin⁡(nα)).t^n = r^n \bigl(\cos (n\alpha) + i \sin (n\alpha)\bigr).

Dvě nenulová komplexní čísla zapsaná v goniometrickém tvaru se rovnají právě tehdy, když mají tutéž absolutní hodnotu a jejich argumenty se liší o celý násobek 2π2\pi. Rovnost tn=zt^n = z je proto ekvivalentní s konjunkcí dvou podmínek

rn=∣z∣∧nα=φ+2kπ  pro neˇktereˊ k∈Z.r^n = |z| \quad \land \quad n\alpha = \varphi + 2k\pi \ \text{ pro některé } k \in \Z.

První podmínka má mezi kladnými reálnými čísly jediné řešení r=∣z∣nr = \sqrt[n]{|z|} (reálná nn-tá odmocnina z kladného čísla). Z druhé podmínky plyne

αk=φ+2kπn,k∈Z.\alpha_k = \frac{\varphi + 2k\pi}{n}, \qquad k \in \Z.

Zbývá zjistit, kolik různých čísel takto vznikne. Úhly αk\alpha_k a αl\alpha_l dávají totéž komplexní číslo právě tehdy, když se liší o celý násobek 2π2\pi, tj. když je

αk−αl=2(k−l)πn\alpha_k - \alpha_l = \frac{2(k-l)\pi}{n}

celým násobkem 2π2\pi – a to nastane právě tehdy, když je rozdíl k−lk-l dělitelný číslem nn. Tedy právě po nn krocích se hodnoty komplexních odmocnin začínají opakovat. Navzájem různá čísla proto dostaneme právě pro nn po sobě jdoucích hodnot kk, například pro k∈{0,1,…,n−1}k \in \set{0, 1, \ldots, n-1}.

Pro z=0z = 0 konečně z rovnosti tn=0t^n = 0 plyne t=0t = 0, takže 0n={0}\sqrt[n]{0} = \set{0}.

Poznámka 3.36#

V komplexní rovině tvoří obrazy prvků množiny 1n\sqrt[n]{1} vrcholy pravidelného nn-úhelníka vepsaného do kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 11 s jedním z vrcholů v bodě [1,0][1,0].

Obrazy prvků množiny zn\sqrt[n]{z} tvoří vrcholy pravidelného nn-úhelníka, který dostaneme z předchozího otočením o úhel φn\frac{\varphi}{n} a stejnolehlostí se středem v počátku s koeficientem ϱn\sqrt[n]{\rho}.

Příklad 3.37#

Spočítejte (1+i)50(1+i)^{50}.

Odpověď

225 i2^{25}\,i.

Postup řešení

∣1+i∣=2|1+i| = \sqrt2 a Arg⁡(1+i)=π4\operatorname{Arg}(1+i) = \frac{\pi}{4}, takže podle Moivreovy věty

(1+i)50=(2)50(cos⁡50π4+isin⁡50π4)=225(cos⁡25π2+isin⁡25π2)==225(cos⁡(12π+π2)+isin⁡(12π+π2))=225(cos⁡π2+isin⁡π2)=225 i.\begin{aligned} (1+i)^{50} &= \left(\sqrt{2}\right)^{50}\left(\cos\frac{50\pi}{4} + i\sin\frac{50\pi}{4}\right) = 2^{25}\left(\cos\frac{25\pi}{2} + i\sin\frac{25\pi}{2}\right) =\\ &= 2^{25}\left(\cos\left(12\pi+\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(12\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right) = 2^{25}\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right) = 2^{25}\,i. \end{aligned}

Jiný postup: Výsledek lze získat i rychleji: (1+i)2=2i(1+i)^2 = 2i, tedy

(1+i)50=(2i)25=225 i25=225 i.(1+i)^{50} = (2i)^{25} = 2^{25}\, i^{25} = 2^{25}\,i.

Příklad 3.38#

Řešme v C\C rovnici z3=1z^3=1.

Hledáme vzdálenost od počátku r≥0r \geq 0 a úhel α\alpha tak, aby pro z=r(cos⁡α+isin⁡α)z = r (\cos\alpha + i\sin\alpha) platilo z3=1z^3=1.

Víme, že ∣z3∣=∣1∣\left|z^3\right|=|1|, a tedy r3=∣z∣3=1r^3=|z|^3=1. Odtud r=1r=1. Dále

z3=cos⁡(3α)+isin⁡(3α)=1=cos⁡0+isin⁡0=cos⁡(2kπ)+isin⁡(2kπ),k∈Z.z^3 = \cos(3\alpha) + i\sin(3\alpha) = 1 = \cos 0 + i\sin 0 = \cos(2k\pi) + i\sin(2k\pi), \quad k \in \Z.

Tedy α=2kπ3\alpha = \frac{2k\pi}{3} pro libovolné k∈Zk \in \Z a z=cos⁡2kπ3+isin⁡2kπ3z = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}:

  • pro k=0k=0 dostaneme z=1z = 1,
  • pro k=1k=1 dostaneme z=cos⁡2π3+isin⁡2π3=−12+i32z = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2},
  • pro k=2k=2 dostaneme z=cos⁡4π3+isin⁡4π3=−12−i32z = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Obrazy všech tří kořenů leží na jednotkové kružnici a dělí ji na tři stejné části – tvoří tedy vrcholy rovnostranného trojúhelníku, viz obrázek 9.

Obrázek 9: Třetí odmocniny z jedničky tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníku vepsaného do jednotkové kružnice.

Jiný postup: Hledáme kořeny polynomu z3−1z^3-1. Snadno vidíme, že z1=1z_1 = 1 je kořen, a tedy z cvičení na polynomy už víme, že

z3−1=(z−1)⋅(polynom, kteryˊ zıˊskaˊme deˇlenıˊm)=(z−1)(z2+z+1).z^3-1 = (z-1) \cdot (\text{polynom, který získáme dělením}) = (z-1)\left(z^2+z+1\right).

Polynom z2+z+1z^2+z+1 má kořeny

z2,3=−1±−32=−1±i32=−12±i32=cos⁡2π3±isin⁡2π3.z_{2,3} = \frac{-1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} \pm i\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{2\pi}{3} \pm i\sin\frac{2\pi}{3}.

Příklad 3.39#

Řešme v C\C rovnici zn=−1z^n=-1.

Pokud z=r(cos⁡α+isin⁡α)z = r (\cos\alpha + i\sin\alpha), pak ∣zn∣=∣−1∣=1\left|z^n\right|=|-1|=1. Tedy rn=1r^n = 1 a nutně r=1r = 1. Proto

zn=cos⁡(αn)+isin⁡(αn)=−1=cos⁡(π+2kπ)+isin⁡(π+2kπ) pro kazˇdeˊ k∈Z.z^n = \cos(\alpha n) + i\sin(\alpha n) = -1 = \cos(\pi+2k\pi) + i\sin(\pi+2k\pi) \quad \text { pro každé } k \in \Z.

Dostaneme množinu řešení tvaru z=cos⁡π+2kπn+isin⁡π+2kπnz = \cos\frac{\pi+2k\pi}{n} + i\sin\frac{\pi+2k\pi}{n}, kde k∈Zk \in \Z. Řešení jsou však navzájem různá pouze pro k=0,1,2,…,n−1k = 0, 1, 2, \ldots, n-1; jejich obrazy tvoří vrcholy pravidelného nn-úhelníku.

Příklad 3.40#

Řešte v C\C rovnici zn=1z^n=1.

Odpověď

zk=cos⁡2kπn+isin⁡2kπn\dst z_k = \cos\frac{2k\pi}{n} + i \sin\frac{2k\pi}{n} pro k∈{0,1,…,n−1}k \in \set{0, 1, \ldots, n-1}; jde o nn vrcholů pravidelného nn-úhelníka vepsaného do jednotkové kružnice s jedním vrcholem v bodě 11.

Příklad 3.41#

Řešte v C\C rovnici z4=−4z^4=-4.

Odpověď

z∈{1+i, −1+i, −1−i, 1−i}z \in \set{1+i,\ -1+i,\ -1-i,\ 1-i}.

Nápověda

Je −4=4(cos⁡π+isin⁡π)-4 = 4(\cos\pi + i\sin\pi), tedy 44=2\sqrt[4]{4} = \sqrt2 a argumenty odmocnin jsou π+2kπ4\frac{\pi + 2k\pi}{4} pro k∈{0,1,2,3}k \in \set{0,1,2,3}.

Potvrzení