Lumos
Kontakty
Na této stránce

Cvičení 4

Zobrazení a jejich vlastnosti

Kartézský součin a relace, definiční obor a obor hodnot, obraz a vzor množiny, složené zobrazení, prostá, surjektivní a bijektivní zobrazení, inverzní zobrazení.

PDF

Stručná teorie

Definice 3.1Kartézský součin a relace#

Kartézský součin dvou množin AA a BB je množina

A×B={(a,b)∣a∈A,b∈B}.A \times B = \set{(a, b) \mid a \in A, b \in B}.

Relace mezi množinami AA a BB je libovolná podmnožina R\mathcal{R} kartézského součinu A×BA \times B, tj. R⊂A×B\mathcal{R} \subset A \times B. Zapisujeme xRyx \mathcal{R} y, pokud (x,y)∈R(x, y) \in \mathcal{R}.

Definice 3.2Zobrazení#

Zobrazení (funkce) je relace f⊂A×Bf \subset A \times B splňující podmínku, že pro každý prvek x∈Ax \in A existuje nejvýše jeden prvek y∈By \in B tak, že xfyxfy:

(∀x∈A)(∀y1,y2∈B) ((x,y1)∈f∧(x,y2)∈f  ⟹  y1=y2).(\forall x \in A)(\forall y_1, y_2 \in B)\,\big( (x, y_1) \in f \wedge (x, y_2) \in f \implies y_1 = y_2 \big).

Pro tento prvek využíváme značení f(x)f(x), tj.

(∀x∈A)(∀y∈B) ((x,y)∈f  ⟺  f(x)=y).(\forall x \in A)(\forall y \in B)\,\big( (x, y) \in f \iff f(x) = y \big).

Prvek y=f(x)y = f(x) nazýváme obrazem prvku xx při zobrazení ff a prvek xx vzorem prvku yy.

Definice 3.3Definiční obor a obor hodnot#

Definiční obor zobrazení f⊂A×Bf \subset A \times B je množina

Df={x∈A∣(∃y∈B) (f(x)=y)},D_f = \set{x \in A \mid (\exists y \in B)\,(f(x) = y)},

obor hodnot zobrazení ff je množina

Hf={y∈B∣(∃x∈A) (y=f(x))}={f(x)∣x∈Df}.H_f = \set{y \in B \mid (\exists x \in A)\,(y = f(x))} = \set{f(x) \mid x \in D_f}.

Označení 3.4Zobrazení do a na množinu#
f ⁣:(A)→Bf \colon (A) \to B zobrazení z množiny AA do množiny BB (Df⊂A)∧(Hf⊂B)(D_f \subset A) \wedge (H_f \subset B)
f ⁣:A→Bf \colon A \to B zobrazení množiny AA do množiny BB (Df=A)∧(Hf⊂B)(D_f = A) \wedge (H_f \subset B)
f ⁣:A→Bf \colon A \to B zobrazení množiny AA na množinu BB (Df=A)∧(Hf=B)(D_f = A) \wedge (H_f = B)

Definice 3.5Obraz a vzor množiny#

Nechť f ⁣:A→Bf \colon A \to B.

  • Obraz množiny M⊂AM \subset A při zobrazení ff je množina

    f(M)={y∈B∣(∃x∈M) (y=f(x))}={f(x)∣x∈M},f(M) = \set{y \in B \mid (\exists x \in M)\,(y = f(x))} = \set{f(x) \mid x \in M},

    speciálně pak f(Df)=Hff(D_f) = H_f.

  • Vzor množiny MM při zobrazení ff je množina

    f−1(M)={x∈A∣(∃y∈M) (f(x)=y)}={x∈A∣f(x)∈M}.f^{-1}(M) = \set{x \in A \mid (\exists y \in M)\,(f(x) = y)} = \set{x \in A \mid f(x) \in M}.

Poznámka 3.6#

Pozor, symbol f−1f^{-1} používáme ve dvou různých významech – jednak pro vzor množiny (ten existuje vždy), jednak pro inverzní zobrazení (to existuje jen pro prosté ff, viz definice 3.9). Co je čím, poznáte podle toho, zda je argumentem množina, nebo prvek.

Definice 3.7Zúžení a složené zobrazení#

  • Zúžení (restrikce) zobrazení f ⁣:A→Bf \colon A \to B na množinu MM je zobrazení f∣M ⁣:M∩A→Bf|_M \colon M \cap A \to B s vlastností

    (∀x∈M∩A) (f∣M(x)=f(x)).(\forall x \in M \cap A)\,(f|_M(x) = f(x)).

  • Složením zobrazení f ⁣:A→Bf \colon A \to B a g ⁣:B→Cg \colon B \to C je zobrazení g∘fg \circ f dané předpisem

    (g∘f)(x):=g(f(x)),x∈Dg∘f={x∈Df∣f(x)∈Dg}=f−1(Dg).(g \circ f)(x) := g(f(x)), \qquad x \in D_{g \circ f} = \set{x \in D_f \mid f(x) \in D_g} = f^{-1}(D_g).

Definice 3.8Prosté, surjektivní a bijektivní zobrazení#

Nechť f ⁣:A→Bf \colon A \to B a MM je libovolná množina. Zobrazení ff nazýváme

  • injektivní (prosté), jestliže (∀x,y∈Df) ((x≠y)  ⟹  (f(x)≠f(y)))(\forall x, y \in D_f)\,((x \neq y) \implies (f(x) \neq f(y)));
  • MM-surjektivní („na MM“), jestliže M⊂HfM \subset H_f;
  • MM-bijektivní (vzájemně jednoznačné), je-li současně injektivní a MM-surjektivní.

Definice 3.9Identické a inverzní zobrazení#

  • Identické zobrazení na množině AA je zobrazení IdA ⁣:A→A\mathrm{Id}_A \colon A \to A splňující

    (∀x∈A) (IdA(x)=x).(\forall x \in A)\,(\mathrm{Id}_A(x) = x).

  • Je-li ff prosté zobrazení, pak relaci

    f−1={(y,x)∣(x,y)∈f}f^{-1} = \set{(y, x) \mid (x, y) \in f}

    nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení ff.

Poznámka 3.10#

Bez prostoty by relace f−1f^{-1} zobrazením nebyla. Pokud f(x1)=f(x2)=yf(x_1) = f(x_2) = y pro x1≠x2x_1 \neq x_2, obsahuje f−1f^{-1} dvojice (y,x1)(y, x_1) i (y,x2)(y, x_2), takže prvek yy má dva různé obrazy.

Věta 3.11Vlastnosti inverzního zobrazení#

Je-li ff prosté zobrazení, pak pro inverzní zobrazení f−1f^{-1} platí

Df−1=Hf,Hf−1=Df,f−1∘f=IdDf,f∘f−1=IdHf.\begin{alignedat}{2} D_{f^{-1}} & = H_f, & \qquad H_{f^{-1}} & = D_f, \\ f^{-1} \circ f & = \mathrm{Id}_{D_f}, & \qquad f \circ f^{-1} & = \mathrm{Id}_{H_f}. \end{alignedat}

Úkoly k procvičení

Příklad 3.1#

Definujme množiny A={1,2}A = \set{1,2} a B={3,4}B = \set{3, 4}. Vypište všechny podmnožiny A×BA \times B, které definují zobrazení:

  1. f ⁣:A→Bf \colon A \to B;
  2. f ⁣:(A)→Bf \colon (A) \rightarrow B.

Příklad 3.2#

Určete definiční obory funkcí daných předpisem

f(x)=ln⁡sin⁡2x,g(x)=log⁡2log⁡3log⁡4x,w(x)=(2x)!,h(x)=xsin⁡(πx).f(x)=\ln \sin 2x,\quad g(x)=\log_2\log_3\log_4 x,\quad w(x)=(2x)!,\quad h(x)=\frac{\sqrt{x}}{\sin(\pi x)}.

Příklad 3.3#

Určete obory hodnot funkcí ff, gg a ww z předchozí úlohy.

Příklad 3.4#

Nalezněte obory hodnot funkcí:

  1. f(x)=x2,Df=⟨−1,2)f(x) = x^2, \quad D_f=\langle -1,2);
  2. f(x)=log⁡x,Df=(10,1000⟩f(x) = \log{x}, \quad D_f=(10, 1000\rangle;
  3. f(x)=x+⌊2x⌋,Df=⟨0,1)f(x) = x + \lfloor 2x\rfloor, \quad D_f=\langle 0,1);
  4. f(n)=(−1)nn,n∈Nf(n) = (-1)^n n, \quad n\in\N.

Příklad 3.5#

Nalezněte obory hodnot funkcí:

  1. f(x)=x+1x2+x+1,Df=Rf(x) = \dfrac{x+1}{x^2+x+1}, \quad D_f = \R;
  2. f(x)=x+1x2+3x+1,Df=R∖{−3±52}f(x) = \dfrac{x+1}{x^2+3x+1}, \quad D_f = \R \setminus \set{\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}}.

Příklad 3.6#

Určete obor hodnot funkce f:C→Cf: \C \rightarrow \C definované vztahem

f(z)=z+2zˉ+zzˉ+iz.f(z) = z + 2\bar{z} + z\bar{z} + iz.

Příklad 3.7#

Určete definiční obory funkcí f∘gf \circ g a g∘fg \circ f, kde

f(x)=tg⁡x,g(x)=x.f(x) = \tg x, \quad g(x)=\sqrt{x}.

Okomentujte, zda se tyto dvě složené funkce rovnají či nikoli.

Příklad 3.8#

Buďte f1(x)=x2, f2(x)=2x, f3(x)=sgn⁡xf_1(x)=x^2,\, f_2(x)=2^x,\, f_3(x)=\sgn{x}. Určete definiční obory a obory hodnot funkcí fi∘fjf_i \circ f_j, kde i,j=1,2,3i,j = 1,2,3, a napočítejte (fi∘fj)(x)(f_i \circ f_j )(x).

Příklad 3.9#

Nechť zobrazení f:(R)→Rf: (\R) \rightarrow \R je definováno vztahem f(x)=x+1x−1f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}. Určete

  1. DfD_f a HfH_f;
  2. f−1(M)f^{-1}(M) pro M=(2,3)M= (2,3);
  3. f(N)f(N) pro N=⟨3,4⟩N=\left\langle 3,4 \right\rangle.

Příklad 3.10#

Zapište pomocí kvantifikátorů, že zobrazení hh je injektivní, resp. MM-surjektivní, resp. MM-bijektivní.

Příklad 3.11#

Volte vhodný definiční obor Df⊂RD_f\subset\R pro funkci f:Df→⟨−1,1⟩f:D_f\rightarrow \langle -1,1\rangle danou předpisem f(x)=sin⁡xf(x)=\sin{x} tak, aby byla

  1. ⟨−1,1⟩\langle -1,1 \rangle-surjektivní a současně neinjektivní;
  2. injektivní a současně nebyla ⟨−1,1⟩\langle -1,1 \rangle-surjektivní;
  3. ⟨−1,1⟩\langle -1,1 \rangle-bijektivní;
  4. neinjektivní ani nebyla ⟨−1,1⟩\langle -1,1 \rangle-surjektivní.

Příklad 3.12#

Najděte inverzní funkci k funkci f(x)=ax+bcx+df(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d} na jejím definičním oboru. Jakou podmínku musí splňovat koeficienty a,b,c,da,b,c,d, aby inverze existovala?

Příklad 3.13#

Nechť zobrazení f:R→Rf: \R \rightarrow \R je definováno vztahem f(x)=xx2+1f(x) = \dfrac{x}{x^2+1}.

  1. Určete HfH_f a obor hodnot zúžení f∣⟨1,+∞)f|_{\left\langle 1 , + \infty \right)}.
  2. Vyšetřete injektivitu zobrazení ff i injektivitu zúžení f∣⟨1,+∞)f|_{\left\langle 1 , + \infty \right)}.

Příklad 3.14#

Nechť zobrazení f:(1,2)→⟨0,2⟩f: (1,2) \rightarrow \left\langle 0, 2 \right\rangle je definováno vztahem f(x)=x(x−1)f(x) = \sqrt{x(x-1)} a zobrazení g:N×N→Ng: \N \times \N \rightarrow \N vztahem g(m,n)=m⋅ng(m,n) = m \cdot n. Vyšetřete u funkcí ff a gg, zda jsou

  1. injektivní;
  2. ⟨0,2⟩\langle 0,2\rangle-surjektivní (u funkce ff), resp. N\N-surjektivní (u funkce gg).

Příklad 3.15#

Nechť zobrazení f:C→Cf: \C \rightarrow \C je definováno vztahem f(z)=z3f(z) = z^3. Určete f−1(R)f^{-1}(\R) a vyšetřete, jestli ff je injektivní a C\C-surjektivní.

Potvrzení