Komplexní čísla

Položme $z = x + iy$, kde $x, y \in \R$. Pak $\bar{z} = x - iy$ a rovnost $z = \bar{z}$ znamená

$$x + iy = x - iy.$$

Dvě komplexní čísla se rovnají právě tehdy, když mají stejnou reálnou i stejnou imaginární část. Reálné části se shodují automaticky, z porovnání imaginárních dostáváme $y = -y$, tedy $y = 0$.

Podmínku proto splňují právě reálná čísla a jejich obrazy vyplní celou reálnou osu. Správná je možnost C.

□

Komplexně sdružené číslo je $\bar{z} = 3 - 2i$. Sčítáme po složkách:

$$z + \bar{z} = (3 + 2i) + (3 - 2i) = 6.$$

Imaginární části se vyrušily a zbyl dvojnásobek části reálné. Obecně platí $z + \bar{z} = 2\,\mathrm{Re\,} z$, výsledek je tedy vždy reálný. Správná je možnost C.

□

Pro absolutní hodnotu platí $|x + iy| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Odmocnina je rostoucí funkce, takže největší absolutní hodnotu má číslo s největším součtem druhých mocnin složek:

$$\begin{aligned} |2-\sqrt2i|^2 & = 4 + 2 = 6, & |\sqrt2+\sqrt3i|^2 & = 2 + 3 = 5, \\ |-2\sqrt2i|^2 & = 0 + 8 = 8, & |-\sqrt5+\sqrt2i|^2 & = 5 + 2 = 7, \\ |-\sqrt3+i|^2 & = 3 + 1 = 4. \end{aligned}$$

Nejvíc vyšlo u ryze imaginárního čísla $-2\sqrt2i$, jehož absolutní hodnota je $2\sqrt2$. Správná je možnost C.

□

Obraz hledaného čísla leží na reálné ose, číslo má tedy tvar $c = (t, 0)$ pro nějaké $t \in \R$. Podmínka stejné vzdálenosti zní $|c - a| = |c - b|$. Obě strany jsou nezáporné, můžeme je proto umocnit na druhou a odmocnin se zbavit:

$$(t-4)^2 + (0-1)^2 = (t-2)^2 + (0-3)^2.$$

Roznásobením dostaneme

$$t^2 - 8t + 17 = t^2 - 4t + 13,$$

kde se druhé mocniny odečtou. Zbude $-4t = -4$, tedy $t = 1$ a $c = (1, 0)$. Správná je možnost A.

□

Sčítáme po složkách, reálnou část s reálnou a imaginární s imaginární:

$$x + y = (3-2i) + (2+i) = (3+2) + (-2+1)i = 5 - i.$$

Správná je možnost C.

□

Nejprve sečteme obě čísla v závorce:

$$y + z = (2-2i) + (-2+3i) = 0 + i = i.$$

Zbývá vynásobit, přičemž využijeme $i^2 = -1$:

$$x(y+z) = (1+2i)\,i = i + 2i^2 = -2 + i.$$

Správná je možnost D.

□

Zlomek rozšíříme číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli. Jmenovatel se tím změní na reálné číslo, protože $y\bar{y} = |y|^2$:

$$\frac{x}{y} = \frac{2+i}{1-i} = \frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \frac{2 + 2i + i + i^2}{1 - i^2} = \frac{1+3i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i.$$

Správná je možnost D.

□

Dosadíme $z = x + iy$, kde $x, y \in \R$. Oba sčítance na levé straně jsou navzájem komplexně sdružené, neboť $\overline{(2+i)z} = (2-i)\bar{z}$. Jejich součet je proto roven dvojnásobku reálné části prvního z nich:

$$(2+i)z + (2-i)\bar{z} = 2\,\mathrm{Re\,}\left[ (2+i)(x+iy) \right] = 2(2x - y).$$

Rovnice tak přejde na podmínku $2(2x - y) = 0$, tedy $y = 2x$. Obrazy hledaných čísel vyplní přímku o rovnici $y = 2x$, která prochází počátkem. Správná je možnost B.

□

Absolutní hodnota je vždy nezáporná, proto $|z| = |-4| = 4$. Základní argument $\varphi \in \left\langle 0, 2\pi \right)$ určíme z podmínek

$$\cos \varphi = \frac{-4}{4} = -1 \ \land \ \sin \varphi = \frac{0}{4} = 0 \quad \implies \quad \varphi = \pi.$$

Odpovídá to i názornému pohledu: obraz čísla $-4$ leží na záporné části reálné osy. Dostáváme tedy $z = 4(\cos \pi + i \sin \pi)$, což je možnost B.

□

Číslo v závorce má absolutní hodnotu $1$ a argument $\frac{\pi}{3}$. Podle Moivreovy věty se absolutní hodnota umocní a argument vynásobí pěti:

$$z = 1^5 \left( \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} \right).$$

Argument $\frac{5\pi}{3}$ už v intervalu $\left\langle 0, 2\pi \right)$ leží, stačí tedy dosadit hodnoty goniometrických funkcí:

$$z = \cos \frac{5\pi}{3} + i \sin \frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt3}{2} i.$$

Správná je možnost D.

□

Při dělení čísel v goniometrickém tvaru se absolutní hodnoty dělí a argumenty odčítají. Pro absolutní hodnoty dostáváme $6 : \frac{1}{2} = 12$ a pro argumenty

$$\frac{x}{y} = 12 \left( \cos \left( \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \right) + i \sin \left( \frac{\pi}{3} - \frac{5\pi}{6} \right) \right) = 12 \left( \cos \left( -\frac{\pi}{2} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) \right).$$

Základní argument musí ležet v intervalu $\left\langle 0, 2\pi \right)$, přičteme proto $2\pi$:

$$\frac{x}{y} = 12 \left( \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} \right).$$

Správná je možnost D. V algebraickém tvaru jde o číslo $-12i$, nabízená možnost E má tedy opačné znaménko.

□

Podle Moivreovy věty umocníme absolutní hodnotu a argument vynásobíme třemi:

$$x^3 = 4^3 \left( \cos \frac{3 \cdot 8\pi}{9} + i \sin \frac{3 \cdot 8\pi}{9} \right) = 64 \left( \cos \frac{8\pi}{3} + i \sin \frac{8\pi}{3} \right).$$

Argument $\frac{8\pi}{3}$ leží mimo interval $\left\langle 0, 2\pi \right)$, odečteme proto $2\pi$:

$$x^3 = 64 \left( \cos \frac{2\pi}{3} + i \sin \frac{2\pi}{3} \right).$$

Správná je možnost C. Pozor na nabídku B, kde je trojkou vynásoben jmenovatel místo čitatele.

□

Rovnici nejprve upravíme na tvar

$$x^4 = -4i.$$

Pravá strana má absolutní hodnotu $4$ a základní argument $\frac{3\pi}{2}$. Podle vzorce pro $n$-tou odmocninu mají všechny čtyři kořeny absolutní hodnotu $\sqrt[4]{4} = \sqrt2$ a argumenty

$$\varphi_k = \frac{\frac{3\pi}{2} + 2k\pi}{4} = \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2}, \qquad k \in \set{0, 1, 2, 3},$$

tedy

$$\varphi_0 = \frac{3\pi}{8}, \quad \varphi_1 = \frac{7\pi}{8}, \quad \varphi_2 = \frac{11\pi}{8}, \quad \varphi_3 = \frac{15\pi}{8}.$$

Na první pohled se zdá, že žádný z nich v nabídce není. Možnost B má ale u sinu záporné znaménko, jde tedy o číslo s argumentem $-\frac{\pi}{8}$. Protože $-\frac{\pi}{8} + 2\pi = \frac{15\pi}{8}$, odpovídá kořenu $\varphi_3$. Správná je možnost B.

□

Vzorec pro kořeny kvadratické rovnice platí i nad $\C$. Spočítáme diskriminant:

$$D = (8-2i)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (9-2i) = (60 - 32i) - (72 - 16i) = -12 - 16i.$$

Jeho odmocninu hledáme ve tvaru $\sqrt{D} = u + iv$, kde $u, v \in \R$. Umocněním a porovnáním složek dostaneme

$$\begin{aligned} u^2 - v^2 & = -12, \\ 2uv & = -16. \end{aligned}$$

Soustavu si usnadníme porovnáním absolutních hodnot: z $(u+iv)^2 = D$ plyne $u^2 + v^2 = |u+iv|^2 = |D| = \sqrt{12^2 + 16^2} = 20$. Sečtením s první rovnicí vyjde $u^2 = 4$, odečtením $v^2 = 16$. Druhá rovnice navíc říká, že $u$ a $v$ mají opačná znaménka, takže

$$\sqrt{D} = \pm (2 - 4i).$$

Kořeny tedy jsou

$$x_{1,2} = \frac{(8-2i) \pm (2-4i)}{4}, \qquad x_1 = \frac{10-6i}{4} = \frac{5}{2} - \frac{3}{2}i, \qquad x_2 = \frac{6+2i}{4} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}i.$$

V nabídce je pouze první z nich. Správná je možnost D.

□

Nejprve číslo upravíme do algebraického tvaru, ze kterého snadno získáme tvar goniometrický. Platí

$$z=\frac{i^{10}-1}{i^5 +1} = \frac{(i^5-1)(i^5+1)}{i^5 +1} = i^5 -1 = i - 1.$$

Velikost čísla je $|z| = \sqrt{2}$ a pro jeho základní argument $\varphi \in \left\langle 0, 2\pi \right)$ platí

$$\sin \varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} \ \land \ \cos \varphi = -\frac{1}{\sqrt{2}} \quad \implies \quad \varphi = \frac{3\pi}{4}.$$

Číslo $z$ v goniometrickém tvaru má proto tvar

$$z = \sqrt{2}\left( \cos \frac{3\pi}{4} + i \sin \frac{3\pi}{4} \right).$$

□

Diskriminant musí být záporný, tedy $b^2 - 4ac < 0$, jinak by kořeny byly reálné.

Zároveň musí platit $b = 0$, aby kořeny $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-D}}{2a}$ neměly reálnou část, a byly tedy ryze imaginární.

Tedy:

$$\begin{aligned} & (b = 0) \land (b^2 - 4ac < 0), \\ & (b = 0) \land (-4ac < 0), \\ & (b = 0) \land (ac > 0). \end{aligned}$$

□

Úpravou $\frac{1}{i} = -i$ a dosazením $z = x + i y$, kde $x,y \in \R$, dostaneme

$$\begin{aligned} (5+i)x - i(5+i)y + 2x + i \cdot 2y & = 22i, \\ (7x + y) + (x -3y)i & = 0 + 22i. \end{aligned}$$

Porovnáním reálných a imaginárních složek dostaneme soustavu dvou lineárních rovnic pro dvě neznáme $x, y \in \R$

$$\begin{aligned} 7x + y & = 0, \\ x - 3y & = 22. \end{aligned}$$

Soustava má řešení $x=1$ a $y = -7$. Řešení původní rovnice je tedy $z = 1-7i$.

□

Prvním řešením je množina bodů $|z| = 2$, což v Gaussově rovině představuje kružnici se středem v počátku a poloměrem 2. V druhém případě dostáváme rovnici

$$|z-i| = |z+3i| \iff \sqrt{x^2+(y-1)^2} = \sqrt{x^2+(y+3)^2},$$

kde $z = x + i y$ pro $x,y \in \R$. Po umocnění a roznásobení přejde rovnice na tvar

$$-2y + 1 = 6y + 9$$

s jediným řešením $y = -1$ (závislost na $x$ vypadne). Toto řešení představuje v Gaussově rovině přímku, která je rovnoběžná s osou $x$ a která prochází bodem $[0, -1]$, viz obrázek 2.

□

Jelikož číslo $z = -1$ není řešení rovnice (jednoduše ověřitelné), můžeme rovnici vynásobit číslem $(z+1)$ a získat

$$z^5 = -1.$$

Tuto rovnici vyřešíme pomocí Moivreovy věty. Jelikož $z = |z|(\cos \varphi + i \sin \varphi)$, platí

$$z^5 = |z|^5(\cos 5\varphi +i \sin 5\varphi ) = -1 = 1(\cos \pi + i \sin \pi).$$

Nyní porovnáme velikost a úhel, které se musejí rovnat. Pro velikost dostáváme

$$|z| = 1$$

a pro úhel

$$5\varphi = \pi + 2k\pi.$$

Zde nesmíme zapomenout na periodicitu obou goniometrických funkcí. Z předcházející rovnice dostáváme pro různé volby $k \in \Z$ celkem pět různých řešení:

$$\begin{aligned} \varphi_0 = \frac{\pi}{5}, \quad \varphi_1 = \frac{3\pi}{5}, \quad \varphi_2 = \pi, \quad \varphi_3 = \frac{7\pi}{5}, \quad \varphi_4 = \frac{9\pi}{5}. \end{aligned}$$

Nyní ale musíme vyloučit $\varphi_2$, ten by totiž dával řešení $z = -1$, které jsme z oboru řešení vyloučili už na začátku. Sedí to i s počtem řešení: původní rovnice je čtvrtého stupně, musíme tedy dostat přesně čtyři různá řešení.

□