Funkční řady

Vyšetřování oboru konvergence řady funkcí fakticky znamená řešit konvergenci bodovou, tedy pohlížet na $x$ jako na parametr. Obor konvergence je totiž množina všech $x \in \R$, pro něž $\sumn f_n(x)$ konverguje.

Jedná se o řadu s kladnými členy, užijeme proto např. podílového kritéria (v případě $x = 1$ řada triviálně konverguje):

$$\limn \frac{a_{n+1}}{a_n} = \limn \frac{(x-1)^{2n+2}}{(n+2)!}\frac{(n+1)!}{(x-1)^{2n}} = \limn \frac{(x-1)^2}{n+2}=0 < 1.$$

Protože je tato hodnota menší než jedna, konverguje zadaná řada (absolutně) pro každé $x \in \R$, tj. $\OK = \R$.

□

Užijeme s výhodou odmocninového kritéria:

$$\begin{aligned} \limn \sqrt[n]{|a_n|} &= \limn \sqrt[n]{\left|\frac{(x^2+2x-2)^n}{n+1}\right|} = \left|x^2+2x-2\right| \cdot \limn \sqrt[n]{n+1} =\\ &= \left|x^2+2x-2\right| \cdot \limn \e^{\frac{1}{n}\ln(n+1)} = \left|x^2+2x-2\right| \cdot \e^{\limn \frac{\ln(n+1)}{n}} \overset{\text{l'H}}{=}\\ &= \left|x^2+2x-2\right| \cdot \e^{\limn \frac{1}{n+1}} = \left|x^2+2x-2\right| \overset{!}{<} 1, \end{aligned}$$

řešíme proto nerovnici $\left|x^2+2x-2\right| < 1$.

Umocněním obou stran nerovnice na druhou získáme

$$\begin{gathered} \left(x^2+2x-2\right)^2 < 1,\\ (x^2+2x-3)(x^2+2x-1) < 0,\\ (x-1)(x+3)(x+1-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2}) < 0. \end{gathered}$$

Snadno zjistíme řešení

$$x \in (-3,-1-\sqrt{2}) \cup (-1+\sqrt{2},1).$$

Dosazením bodů $x = 1$ a $x = -3$ dostáváme divergentní řadu $\sumn \frac{1}{n+1}$. V bodech $x = -1\pm\sqrt{2}$ máme alternující řadu $\sumn \frac{(-1)^n}{n+1}$, která konverguje.

Oborem konvergence tedy bude množina

$$\OK = \left( -3,-1-\sqrt{2} \right\rangle \cup \left\langle -1+\sqrt{2},1 \right).$$

□

Jedná se o řadu s kladnými členy. Užijeme podílového kritéria:

$$\limn \frac{a_{n+1}}{a_n} = \limn \frac{(2n+2)!!}{(2n+3)!!} \frac{x^{2n+2}}{n+1} \frac{(2n+1)!!}{(2n)!!} \frac{n}{x^{2n}} = \limn \frac{n}{n+1}\frac{2n+2}{2n+3}\,x^2 = x^2.$$

Pro $x \in (-1,1)$ tedy řada jistě konverguje a pro $x \notin \left\langle -1,1 \right\rangle$ jistě diverguje. Zbývá rozhodnout, jak se bude řada chovat, bude-li $|x| = 1$. Užijeme Raabeova kritéria. Podle něho

$$\begin{aligned} \limn n\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_n}\right) &= \limn n\left(1-\frac{n}{n+1}\frac{2n+2}{2n+3}\right) =\\ &= \limn n \cdot \frac{2n^2+5n+3-2n^2-2n}{2n^2+5n+3} = \frac{3}{2} > 1. \end{aligned}$$

Závěr:

$$\OK = \left\langle -1,1 \right\rangle.$$

□

Ukážeme třetí nerovnost, ostatní se dokazují úplně stejně.

Položme $f(x) = x - \ln(1+x)$ na intervalu $(-1,\infty)$. Pak

$$f'(x) = 1 - \frac{1}{1+x} = \frac{x}{1+x}.$$

Jmenovatel je na $(-1,\infty)$ kladný, znaménko derivace tedy určuje čitatel. Na $(-1,0)$ je $f'(x) < 0$ a funkce klesá, na $(0,\infty)$ je $f'(x) > 0$ a funkce roste. V bodě $x = 0$ proto nastává globální minimum a

$$f(x) \geq f(0) = 0 \quad \text{pro všechna } x \in (-1,\infty),$$

což není nic jiného než dokazovaná nerovnost $\ln(1+x) \leq x$. Rovnost přitom nastává jedině pro $x = 0$.

□

$$\forall n \in \N,\, \forall x \in \R^+_0: \quad \left|\frac{\cos(nx^2)}{\sqrt[4]{n^5+x^5}}\right| \leq \frac{1}{\sqrt[4]{n^5+x^5}} \leq \frac{1}{n^{5/4}}.$$

Číselná řada $\sumn \frac{1}{n^{5/4}}$ konverguje (z integrálního kritéria), a tedy podle Weierstrassova kritéria zadaná řada funkcí konverguje na $\R^+_0$ stejnoměrně (samozřejmě též bodově).

□

Sinus je omezený jedničkou a kosinus se pohybuje mezi $-1$ a $1$, takže $2+\cos(nx) \geq 1$. Pro všechna $x \in \R$ a všechna $n \in \N$ proto platí

$$\left|\frac{\sin(nx)}{\left(2+\cos(nx)\right)n^2}\right| \leq \frac{1}{n^2}.$$

Číselná majoranta $\sumn \frac{1}{n^2}$ konverguje, a tak podle Weierstrassova kritéria zadaná řada konverguje na $\R$ regulárně, a tedy i stejnoměrně.

□

Na $\R^+$ jsou oba sčítance pod odmocninou kladné, můžeme proto ten druhý vynechat a odhadnout

$$\sqrt{x^2n^6+xn^3} \geq \sqrt{x^2n^6} = xn^3.$$

Podle příkladu 2.4 je navíc $\arctg x < x$ pro každé $x \in \R^+$. Dohromady tedy pro všechna $x \in \R^+$ a všechna $n \in \N$ dostáváme

$$\left|\frac{\arctg x}{\sqrt{x^2n^6+xn^3}}\right| \leq \frac{x}{xn^3} = \frac{1}{n^3}.$$

Číselná řada $\sumn \frac{1}{n^3}$ konverguje, takže podle Weierstrassova kritéria zadaná řada konverguje na $\R^+$ regulárně, a tedy i stejnoměrně.

□

Pro jakékoli $x \in \R$ platí řetězec nerovností

$$\ln\left(\frac{n^2+x^2+1}{n^2+x^2}\right) = \ln\left(1+\frac{1}{n^2+x^2}\right) \leq \frac{1}{n^2+x^2} \leq \frac{1}{n^2},$$

kde jsme užili nerovnosti $\ln(1+t) \leq t$ z příkladu 2.4. Protože číselná majoranta $\sumn \frac{1}{n^2}$ konverguje, konverguje zadaná řada podle Weierstrassova kritéria na $\R$ stejnoměrně.

□

Konverguje-li zadaná řada na $I = (-1,1)$ stejnoměrně, musí na $I$ nutně platit

$$\frac{x^n}{1+x^{2n}} \rightrightarrows 0.$$

Snadno nahlédneme, že $\forall x \in (-1,1)$

$$\limn \frac{x^n}{1+x^{2n}} = 0.$$

Hledáme

$$\sigma_n := \sup_{x \in I} \left|\frac{x^n}{1+x^{2n}}\right|.$$

Označíme-li $t = |x|^n$, je

$$\left|\frac{x^n}{1+x^{2n}}\right| = \frac{t}{1+t^2},$$

přičemž pro $x \in I$ nabývá $t$ všech hodnot z intervalu $\left\langle 0, 1 \right)$. Funkce $h(t) = \frac{t}{1+t^2}$ má derivaci

$$h'(t) = \frac{1-t^2}{\left(1+t^2\right)^2},$$

která je na $\left\langle 0, 1 \right)$ kladná. Funkce $h$ je tedy na tomto intervalu rostoucí, maxima nenabývá a její supremum je

$$\sigma_n = \lim_{t \to 1_-} \frac{t}{1+t^2} = \frac{1}{2}.$$

Pak ale $\limn \sigma_n = \frac{1}{2} \neq 0$ a zkoumaná posloupnost sice konverguje k nulové funkci, ale ne stejnoměrně.

Uzavíráme, že zadaná řada nemůže konvergovat na $I$ stejnoměrně.

□

Snahou je nalézt supremum funkce $f_n(x) = \frac{nx}{1+n^5x^2}$, ukázat, že číselná řada $\sumn \sup_{x \in \R} \left|f_n(x)\right|$ konverguje a poté užít Weierstrassova kritéria.

$$\left(\frac{nx}{1+n^5x^2}\right)' = n\,\frac{1-n^5x^2}{(1+n^5x^2)^2} \overset{!}{=} 0.$$

Odtud $x_{1,2} = \pm n^{-5/2}$ a $f_n(x_{1,2}) = \pm \frac{1}{2n^{3/2}}$.

$$\forall n \in \N,\, \forall x \in \R: \quad \left|\frac{nx}{1+n^5x^2}\right| \leq \frac{1}{2} \frac{1}{n^{3/2}} < \frac{1}{n^{3/2}}.$$

Číselná řada $\sumn \frac{1}{n^{3/2}}$ konverguje, tedy zadaná řada konverguje na $\R$ stejnoměrně.

□

Jak je zřejmé, řada regulárně nekonverguje, neboť je absolutně divergentní. Užijeme tedy Abelova kritéria pro řady tvaru $\sumn f_n(x) \cdot g_n(x)$, kde

$$f_n(x) = \frac{(-1)^n}{n},\quad g_n(x) = \frac{n^2}{n^2+x^2}.$$

Řada $\sumn f_n(x)$ stejnoměrně konverguje (jde o konvergentní řadu konstantních funkcí, kde splývá bodová konvergence se stejnoměrnou). Dále ukážeme, že posloupnost $\left(g_n(x)\right)_{n=1}^\infty$ je pro každé $x$ neklesající. Dokazovanou nerovnost postupně upravíme na tvar, o kterém už není pochyb. Pro $x = 0$ v ní nastává rovnost, pro $x \neq 0$ jsou všechny úpravy ekvivalentní:

$$\begin{aligned} \frac{n^2}{n^2+x^2} &\leq \frac{(n+1)^2}{(n+1)^2+x^2},\\ n^2(n+1)^2+n^2x^2 &\leq n^2(n+1)^2+(n+1)^2x^2,\\ n &\leq n+1. \end{aligned}$$

Poslední nerovnost platí, a tím je monotonie dokázána.

Posloupnost $\left(g_n(x)\right)_{n=1}^\infty$ je navíc na $\R$ stejnoměrně omezená, neboť s konstantou $K = 1$ platí

$$\forall x \in \R,\,\forall n \in \N: \quad \left|\frac{n^2}{n^2+x^2}\right| \leq K.$$

Tím jsou splněny všechny předpoklady Abelova kritéria a zadaná řada tudíž konverguje na $\R$ stejnoměrně.

□

Položme $\dst f_n(x) = \frac{1}{n+\sin x}$. Protože $\sin x \in \left\langle -1,1 \right\rangle$ a sčítáme od $n = 2$, je jmenovatel vždy alespoň roven jedné a funkce $f_n$ jsou na $\R$ dobře definované a kladné.

Pro pevné $x$ jmenovatel s rostoucím $n$ roste, takže posloupnost $\left(f_n(x)\right)_{n=2}^\infty$ je klesající. Navíc pro všechna $x \in \R$ platí

$$0 < \frac{1}{n+\sin x} \leq \frac{1}{n-1},$$

a protože pravá strana na $x$ nezávisí a jde k nule, je $f_n(x) \overset{\R}{\rightrightarrows} 0$.

Tím jsou splněny oba předpoklady Leibnizova kritéria a zadaná řada konverguje na $\R$ stejnoměrně.

□

K důkazu stejnoměrné konvergence užijeme Abelova kritéria. Položíme

$$f_n(x) = \frac{(-1)^n}{n},\quad g_n(x) = \e^{-\frac{n}{x}}.$$

Jelikož je řada $\sumn f_n(x)$ konvergentní řadou konstantních funkcí, konverguje na $\R^+$ stejnoměrně. Víme totiž, že u řad konstantních funkcí splývají pojmy bodové a stejnoměrné konvergence.

Pro každé $x \in \R^+$ je $-\frac{1}{x} < 0$, a tedy $0 < \e^{-\frac{1}{x}} < 1$, jak ukazuje i graf funkce $g_1$.

Odsud pro všechna $x \in \R^+$ a všechna $n \in \N$ plyne monotonie

$$g_{n+1}(x) = \e^{-\frac{1}{x}}\,g_n(x) \leq g_n(x).$$

Posloupnost $\left(g_n(x)\right)_{n=1}^\infty$ je tedy pro každé $x \in \R^+$ nerostoucí, a proto $0 < g_n(x) \leq g_1(x) < 1$. Z monotonie a omezenosti funkce $g_1$ tak plyne stejnoměrná omezenost celé posloupnosti s konstantou $K = 1$. Podle Abelova kritéria proto zadaná řada konverguje na množině $\R^+$ stejnoměrně.

□

Kdyby řada konvergovala stejnoměrně na $\R^+$, konvergovala by stejnoměrně i na každém okolí plus nekonečna, neboť stejnoměrná konvergence je dědičná. Podle věty o záměně pořadí limit by si pak musely být rovny hodnoty $\sumn \limx f_n(x)$ a $\limx \sumn f_n(x)$. Spočítáme je tedy obě a porovnáme.

Každý jednotlivý člen jde v nekonečnu k nule, a proto

$$\sumn \limx \frac{x}{x^2+n^2} = \sumn 0 = 0.$$

U druhé hodnoty využijeme zadaný součet. Rozdělíme jej na dva sčítance

$$\frac{\pi x\,\cotgh(\pi x)-1}{2x} = \frac{\pi}{2}\,\cotgh(\pi x) - \frac{1}{2x},$$

z nichž druhý jde k nule. Pro první dostáváme

$$\limx \frac{\pi}{2}\,\cotgh(\pi x) = \limx \frac{\pi}{2}\,\frac{\e^{\pi x} + \e^{-\pi x}}{\e^{\pi x}-\e^{-\pi x}} = \frac{\pi}{2},$$

a tedy

$$\limx \sumn \frac{x}{x^2+n^2} = \frac{\pi}{2} \neq 0.$$

Obě hodnoty se liší, zkoumaná řada proto na $\R^+$ stejnoměrně nekonverguje.

□

Užijeme Abelova kritéria, kde položíme:

$$f_n(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{n}, \quad g_n(x) = x^n, \quad I = \left\langle 0, 1 \right\rangle.$$

Pak platí:

• $\sumn f_n(x)$ konverguje na $I$ stejnoměrně;
• pro všechna $n \in \N$ a všechna $x \in I$ platí $g_n(x) \geq g_{n+1}(x)$, tj. $x^n \geq x^{n+1}$;
• funkce $g_1(x) = x$ je na $I$ omezená, a proto je – stejně jako v příkladu 2.13 – posloupnost $\left(g_n(x)\right)_{n=1}^\infty$ na $I$ stejnoměrně omezená.

Zadaná řada tedy na $I$ konverguje stejnoměrně.

□