Funkční posloupnosti

$$\limn \int_0^{10}\frac{\e^\frac{x}{n}}{\e^\frac{x}{n}+1}\,\dx= \int_0^{10}\limn\frac{\e^\frac{x}{n}}{\e^\frac{x}{n}+1}\,\dx= \int_0^{10}\frac{1}{2}\,\dx=5.$$

Prostřední rovnost, tedy záměna limity a integrálu, zatím není ničím podložena. Prověříme ji v příkladu 1.15.

□

Předpokládejme, že $q \neq 0$ a $q \neq 1$ (pro $q = 1$ je zřejmě $s_n = na$). Pak

$$\begin{aligned} s_n &= a+aq+aq^2+\dots+aq^{n-1},\\ (s_n-a)\,\frac{1}{q} & =s_n-aq^{n-1},\\ s_n &= a\,\frac{1-q^n}{1-q}. \end{aligned}$$

Součet geometrické řady (pro $|q|<1$):

$$s = \limn s_n = \frac{a}{1-q}.$$

Funkční zápis:

$$\sumno ax^n=\frac{a}{1-x}, \qquad \OK = (-1,1).$$

□

Integrand je na $\left\langle 0,1 \right\rangle$ spojitý, primitivní funkce tedy existuje. Nelze ji však vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí, a žádná ze standardních integračních metod proto k cíli nevede.

Cesta k výsledku vede přes rozvoj do řady: podaří-li se funkci $\e^{-x^2}$ zapsat jako součet mocninné řady a prokázat, že tuto řadu lze na $\left\langle 0,1 \right\rangle$ integrovat člen po členu, dostaneme hodnotu integrálu jako součet číselné řady.

□

Všechny níže uvedené řady konvergují absolutně, rozdělení na členy se sudým a lichým indexem je proto oprávněné.

1. $\dst \sumn \frac{1}{n^2} = \sumn \frac{1}{(2n)^2} + \sumn \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{1}{4} \sumn \frac{1}{n^2} + \sumn \frac{1}{(2n-1)^2}$.

   Tedy $\dst \sumn \frac{1}{n^2} = \frac{4}{3} \sumn \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{6}$.

2. $\begin{aligned} \sumn (-1)^{n+1} \frac{1}{n^2} & = -\sumn \frac{1}{(2n)^2} + \sumn \frac{1}{(2n-1)^2} =\\ &= -\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{3} \sumn \frac{1}{(2n-1)^2} + \sumn \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{12}. \end{aligned}$

□

Je zcela patrné, že definiční obor je $\R$. Dále jen spočteme limitu:

$$f(x) = \limn \left(\frac{x^2 \cdot n}{4n+3} \cdot \e^{-\frac{x^2}{n}}\right) = \limn \frac{x^2}{4+\frac{3}{n}} \cdot 1=\frac{x^2}{4}.$$

Oborem konvergence je $\OK = \R$, což je zároveň definiční obor limitní funkce.

□

$$\limn \e^{nx} = \begin{cases} \infty, & x > 0,\\ 1, & x = 0,\\ 0, & x < 0. \end{cases}$$

Oborem konvergence je tedy $\OK = \left(-\infty,0\right\rangle$. A limitou je nespojitá funkce

$$f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0,\\ 1, & x = 0. \end{cases}$$

□

Označme $t = \frac{x}{n}$. Pak

$$1-\cos^4 t + \sin^4 t = 1 - \cos^4 t + \left(1-\cos^2 t\right)^2 = 2 - 2\cos^2 t = 2\sin^2 t,$$

takže pro $x \neq 0$ je

$$f_n(x) = \frac{2n^2 \sin^2 \frac{x}{n}}{x}.$$

Teď už stačí vzpomenout si na limitu $\dst \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$:

$$f(x) = \limn \frac{2}{x} \left(n \sin \frac{x}{n}\right)^2 = \frac{2}{x} \left(x \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t}\right)^2 = \frac{2x^2}{x} = 2x.$$

V bodě $x = 0$ není $f_n(x)$ definována pro žádné $n$, a proto

$$\OK = \R \setminus \set{0}.$$

□

$$\limn f_n(x) = \limn \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}} = \begin{cases} 1, & x^2 > 1,\\ \frac{1}{2}, & x^2 = 1,\\ 0, & x^2 < 1. \end{cases}$$

Všechny funkce $f_n(x)$ jsou na $\R$ spojité, ale limitní funkce na $\R$ spojitá není. Tedy podle věty 1.16 zadaná posloupnost na $\R$ nekonverguje stejnoměrně.

□

$$f(x) := \limn \left(x+\frac{x}{1+n^4x^2}\right) = x, \qquad \OK = \R.$$

Označme $g_n(x) = f_n(x)-f(x) = \frac{x}{1+n^4x^2}$.

Podle supremálního kritéria máme hledat

$$\sigma_n := \sup_{x \in \R} |g_n(x)|.$$

Užijeme k tomu diferenciálního počtu:

$$g_n'(x) = \frac{1-n^4x^2}{(1+n^4x^2)^2} \overset{!}{=} 0 \quad \iff \quad |x| = \frac{1}{n^2}.$$

V bodě $x = \frac{1}{n^2}$ nabývá funkce $g_n(x)$ svého maxima, takže

$$\sigma_n = g_n\left(\frac{1}{n^2}\right) = \frac{1}{2n^2}.$$

Jelikož

$$\limn \sigma_n = \limn \frac{1}{2n^2} = 0,$$

platí podle supremálního kritéria, že

$$\frac{x}{1+n^4x^2} \overset{\R}{\rightrightarrows} 0,$$

a tedy $f_n(x) \overset{\R}{\rightrightarrows} x$ na $\OK = \R$.

□

$$f(x) = \limn \frac{x^n}{n} = 0,\qquad \OK = \left\langle-1,1\right\rangle.$$

Položme

$$\sigma_n := \sup_{x \in \left\langle-1,1\right\rangle} \left|\frac{x^n}{n}\right|.$$

Zjevně $\sigma_n = \frac{1}{n}$, a tedy $\limn \sigma_n = 0$.

Závěr:

$$\frac{x^n}{n} \rightrightarrows 0$$

na $\OK = \left\langle-1,1\right\rangle$.

□

$$f(x) = \limn \frac{\e^\frac{x}{n}}{\e^\frac{x}{n}+1} = \frac{1}{2},\qquad \OK = \R.$$

Položme

$$\sigma_n := \sup_{x \in \R} \left|\frac{\e^\frac{x}{n}}{\e^\frac{x}{n}+1}-\frac{1}{2}\right| =: \sup_{x \in \R} |g_n(x)|.$$

$$g_n'(x) = \frac{1}{n}\,\frac{\e^\frac{x}{n}}{(\e^\frac{x}{n}+1)^2} > 0,$$

tedy funkce $g_n(x)$ na $\R$ roste. Největším hodnotám se $\left|g_n(x)\right|$ proto blíží limitně v $+\infty$, resp. v $-\infty$. Dále

$$\limx g_n(x) = -\lim_{x \to -\infty} g_n(x) = \frac{1}{2},$$

takže $\sigma_n = \frac{1}{2}$ pro každé $n \in \N$. Podle supremálního kritéria je $\limn \sigma_n = \frac{1}{2} \neq 0$, a zadaná posloupnost tedy konverguje ke konstantní limitní funkci $f(x) = \frac{1}{2}$ na $\R$ pouze bodově, ne stejnoměrně.

□

Pro pevné $x \in \R$ je

$$\limn \frac{\sqrt{n}\,x}{(8n^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} = 0,$$

neboť jmenovatel roste jako $n^3$. Odtud $f(x) = \arctg 0 = 0$ a $\OK = \R$.

Protože je $\arctg$ rostoucí lichá funkce, platí

$$\sigma_n = \sup_{x \in \R} \left|\arctg h_n(x)\right| = \arctg \left(\sup_{x \in \R} \left|h_n(x)\right|\right), \qquad h_n(x) = \frac{\sqrt{n}\,x}{(8n^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}.$$

Funkce $h_n$ je lichá, stačí ji tedy vyšetřit na $\R^+_0$:

$$h_n'(x) = \sqrt{n}\,\frac{\left(8n^2+x^2\right)^{\frac{1}{2}}\left(8n^2+x^2-3x^2\right)}{\left(8n^2+x^2\right)^3} \overset{!}{=} 0 \quad \iff \quad x^2 = 4n^2.$$

Maximum tedy nastává v bodě $x = 2n$ a

$$\sup_{x \in \R} \left|h_n(x)\right| = h_n(2n) = \frac{2n^{\frac{3}{2}}}{\left(12n^2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{2n^{\frac{3}{2}}}{24\sqrt{3}\,n^3} = \frac{1}{12\sqrt{3}\,n^{\frac{3}{2}}}.$$

Odsud

$$\sigma_n = \arctg \frac{1}{12\sqrt{3}\,n^{\frac{3}{2}}} \lto 0,$$

a zadaná posloupnost tedy podle supremálního kritéria konverguje na $\R$ stejnoměrně k nulové funkci.

□

Pro pevné $x \in \R$ je $\dst \limn \frac{x \ln^2 n}{n^2+x^2} = 0$, neboť $\dst \limn \frac{\ln^2 n}{n^2} = 0$. Tedy $f(x) = 0$ a $\OK = \R$.

Činitel $\ln^2 n$ na $x$ nezávisí, a proto

$$\sigma_n = \ln^2 n \cdot \sup_{x \in \R} \left|\frac{x}{n^2+x^2}\right|.$$

Funkce $\dst g_n(x) = \frac{x}{n^2+x^2}$ je lichá a

$$g_n'(x) = \frac{n^2-x^2}{\left(n^2+x^2\right)^2} \overset{!}{=} 0 \quad \iff \quad x = \pm n,$$

přičemž $\dst g_n(n) = \frac{1}{2n}$. Odsud

$$\sigma_n = \frac{\ln^2 n}{2n} \lto 0,$$

takže zadaná posloupnost konverguje na $\R$ stejnoměrně k nulové funkci.

□

Na rozdíl od příkladu 1.12 posloupnost $\left(\frac{\e^\frac{x}{n}}{\e^\frac{x}{n}+1}\right)_{n=1}^\infty$ na intervalu $\left\langle 0,10 \right\rangle$ konverguje stejnoměrně, neboť

$$\begin{gathered} \sigma_n = \sup_{x \in \left\langle 0,10 \right\rangle} |g_n(x)| = \frac{\e^\frac{10}{n}}{\e^\frac{10}{n}+1} - \frac{1}{2},\\ \limn \sigma_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0. \end{gathered}$$

Lze tedy zaměnit pořadí limitního přechodu a integrace. Postup, který jsme aplikovali při řešení příkladu 1.1, tudíž skutečně platí.

□

$$f(x) = \limn \arctg(nx) = \frac{\pi}{2}.$$

Položme

$$g_n(x) = \arctg(nx) - \frac{\pi}{2}.$$

Vyšetřování průběhu funkce (klasickým přístupem přes derivace) vede ke grafu

a následně ke tvrzení, že $\sigma_n = \sup\limits_{x>0} |g_n(x)| = \frac{\pi}{2}$ a $\widetilde{\sigma_n} = \sup\limits_{x>c} |g_n(x)| = \frac{\pi}{2}-\arctg(nc)$.

V tom je celý rozdíl mezi oběma množinami. Funkce $|g_n|$ na $(0,\infty)$ klesá, na množině $A$ se proto přiblíží až k hodnotě $\frac{\pi}{2}$, jakmile jdeme s $x$ k nule – a to bez ohledu na to, jak velké $n$ zvolíme. Množina $B$ je od nuly odražená, takže tam se $|g_n|$ nejvíc přiblíží hodnotě $\frac{\pi}{2}-\arctg(nc)$, a ta už s rostoucím $n$ klesá k nule. Supremum se přitom v ani jednom případě nenabývá.

Pak

$$\limn \sigma_n = \frac{\pi}{2} \quad \wedge \quad \limn \widetilde{\sigma_n} = 0.$$

Posloupnost tudíž na $A$ konverguje pouze bodově, zatímco na $B$ stejnoměrně.

□

$$f(x) = \limn (1+x^n)^{\frac{1}{n}} = \begin{cases} 1, & x \in \left\langle0,1\right\rangle,\\ x, & x > 1. \end{cases}$$

Nyní vyšetříme stejnoměrnou konvergenci. Vidíme, že

$$\begin{aligned} \sigma_n &= \sup_{x \in M} \left|\sqrt[n]{1+x^n} - f(x)\right| = \max \set{\sup_{x \in \left\langle 0,1 \right\rangle} \left|\sqrt[n]{1+x^n} - 1\right|, \sup_{x > 1} \left|\sqrt[n]{1+x^n} - x\right|} =: \\ & =: \max \set{\sup_{x \in \left\langle 0,1 \right\rangle} \left|g_n(x)\right|, \sup_{x > 1} \left|h_n(x)\right|} =: \max \set{\alpha_n,\beta_n}. \end{aligned}$$

Nejprve budeme hledat extrém funkce $g_n(x)$ na množině $\left\langle 0,1 \right\rangle$, kde platí

$$g_n'(x) = x^{n-1}\left(1+x^n\right)^{\frac{1}{n}-1} \geq 0,$$

přičemž nulová je derivace nejvýše v bodě $x = 0$.

Spojitost funkce $g_n$ je vidět z jejího předpisu a ze znaménka derivace plyne, že je rostoucí. Proto

$$\alpha_n = \sup_{x \in \left\langle 0,1 \right\rangle} \left|g_n(x)\right| = g_n(1) = \sqrt[n]{2}-1.$$

Dále vyšetříme extrém funkce $h_n(x)$ na množině $(1,\infty)$. Pro $n = 1$ je $h_1(x) = 1+x-x = 1$ konstantní. Pro $n \geq 2$ platí

$$h_n'(x) = x^{n-1}\left(1+x^n\right)^{\frac{1}{n}-1}-1 < 0,$$

neboť pro $x > 1$ jsou splněny ekvivalentní nerovnosti

$$x^{n-1}\left(1+x^n\right)^{\frac{1}{n}-1}-1 < 0 \quad \iff \quad \sqrt[n]{1+\frac{1}{x^n}} < 1+\frac{1}{x^n}.$$

Funkce $h_n(x)$ je na množině $(1,\infty)$ spojitá a nerostoucí, tedy

$$\beta_n = \sup_{x > 1} \left|h_n(x)\right| = h_n(1) = \sqrt[n]{2}-1.$$

Odsud

$$\sigma_n = \sqrt[n]{2}-1.$$

A protože $\limn \sigma_n = 0$, konverguje zadaná posloupnost na množině $M$ ke své limitní funkci $f(x)$ stejnoměrně.

□

Nejprve vyšetříme limitní funkci

$$f(x) := \limn f_n(x) = \limn x^n(1-3x)^n\arctg(n^2) = 0.$$

Dále využijeme supremálního kritéria:

$$\sigma_n = \sup_{\left\langle 0, \frac{1}{3}\right\rangle} \left|x^n(1-3x)^n\arctg(n^2)\right|.$$

Označme $g_n(x) = x^n(1-3x)^n$ a vyšetřeme průběh této funkce.

$$g_n'(x) = nx^{n-1}(1-3x)^{n-1}(1-6x) \overset{!}{=} 0.$$

Body podezřelé z extrému jsou $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{3}$, $x_3 = \frac{1}{6}$.

Funkce nabývá svého suprema v bodě $x_3$, tedy

$$\sigma_n = \arctg(n^2)\left(\frac{1}{6}\right)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{\arctg(n^2)}{12^n}.$$

Protože

$$\limn \sigma_n = \limn \frac{\arctg(n^2)}{12^n} = 0,$$

posloupnost na intervalu $\left\langle 0, \frac{1}{3}\right\rangle$ konverguje stejnoměrně podle supremálního kritéria:

$$x^n(1-3x)^n\arctg(n^2) \overset{\left\langle 0, \frac{1}{3}\right\rangle}{\rightrightarrows} 0.$$

□